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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5i

Calcule a derivada segunda.

y = e^(- x) - e^(- 2 x)

Passo 1

Vamos analisar a função, ela é uma função exponencial, vamos ter então que usar a fórmula da função exponencial e derivada de polinômio, além da regra da cadeia para achar y^' :

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (e^(- x) - e^(- 2 x))^' = (e^(- x))^' + (- e^(- 2 x))^' = e^(- x) * (- x)^' - e^(- 2 x) * (- 2 x)^' = e^(- x) * (- x^(1 - 1)) - e^(- 2 x) * (- 2 x^(1 - 1)) = e^(- x) * (- x^0) - e^(- 2 x) * (- 2 x^0) = e^(- x) * (- 1) - e^(- 2 x) * (- 2 * 1) = - e^(- x) + 2 e^(- 2 x)

Passo 2

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y^' :

y^(' ') = (y^')^' = (- e^(- x) + 2 e^(- 2 x))^' = (- e^(- x))^' + (2 e^(- 2 x))^' = - e^(- x) * (- x)^' + 2 e^(- 2 x) * (- 2 x)^' = - e^(- x) * (- x^(1 - 1)) + 2 e^(- 2 x) * (- 2 x^(1 - 1)) = - e^(- x) * (- x^0) + 2 e^(- 2 x) * (- 2 x^0) = - e^(- x) * (- 1) + 2 e^(- 2 x) * (- 2 * 1) = e^(- x) - 4 e^(- 2 x)

Resposta

y^(' ') = e^(- x) - 4 e^(- 2 x)

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