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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5e

Calcule a derivada segunda.

y = e^(- x^2)

Passo 1

Vamos analisar a função, ela é uma função exponencial, vamos ter então que usar a fórmula da função exponencial e derivada de polinômio, além da regra da cadeia para achar y^' :

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (e^(- x^2))^' = e^(- x^2) * (- x^2)^' = e^(- x^2) * (- 2 x^(2 - 1)) = e^(- x^2) * (- 2 x) = - 2 x e^(- x^2)

Passo 2

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, porém vamos usar mais uma, a regra do produto, derivando agora y^' :

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = - 2 x

e

g (x) = e^(- x^2)

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = (- 2 x e^(- x^2))^' = (- 2 x)^' (e^(- x^2)) + (e^(- x^2))^' (- 2 x) = (- 2 x^(1 - 1)) (e^(- x^2)) + (- 2 x e^(- x^2)) (- 2 x) = (- 2 x^0) (e^(- x^2)) + 4 x^2 e^(- x^2) = (- 2 * 1) (e^(- x^2)) + 4 x^2 e^(- x^2) = - 2 e^(- x^2) + 4 x^2 e^(- x^2) = 2 e^(- x^2) (- 1 + 2 x^2)

Resposta

y^(' ') = 2 e^(- x^2) (- 1 + 2 x^2)

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