Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada

18) D_x [ (x^2 + 4x^{-2})^2 / (x^2 + 1)^{-1} ]

Passo 1

Para resolvermos a derivada da função, vamos aplicar primeiro a regra do produto:

f x g x = f ' x g x + f x g ' ( x )

Então fica:

d d x x 2 + 4 x - 2 2 x 2 + 1 - 1 + x 2 + 4 x - 2 2 d d x [ x 2 + 1 - 1 ]

Passo 2

Agora vamos aplicar a Regra da Cadeia para resolver a primeira derivada acima:

d d x x 2 + 4 x - 2 2

Fazemos a derivada da potência de fora:

d d t t 2 = 2 t

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada dela:

2 x 2 + 4 x - 2 d d x x 2 + 4 x - 2

E isso será:

2 x 2 + 4 x - 2 ( 2 x - 8 x - 3 )

Passo 3

Beleza, agora vamos resolver a segunda derivada da nossa conta do Passo 1:

d d x [ x 2 + 1 - 1 ]

Aplicamos a Regra da Cadeia e resolvemos a derivada da potência primeiro:

d d t t - 1 = - t - 2

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada da função de dentro:

- x 2 + 1 - 2 d d x x 2 + 1

Resolvendo a derivada na conta de cima:

- 2 x x 2 + 1 - 2

Passo 4

Agora substituímos os dois resultados na regra do produto que aplicamos no início:

d d x x 2 + 4 x - 2 2 x 2 + 1 - 1 + x 2 + 4 x - 2 2 d d x [ x 2 + 1 - 1 ]

2 x 2 + 4 x - 2 2 x - 8 x - 3   .   x 2 + 1 - 1 + x 2 + 4 x - 2 2 . - 2 x x 2 + 1 - 2

Reescrevendo:

2 x 2 + 4 x - 2 2 x - 8 x - 3 x 2 + 1 + - 2 x x 2 + 4 x - 2 2 x 2 + 1 2

Resposta

f ' x = 2 x 2 + 4 x - 2 2 x - 8 x - 3 x 2 + 1 + - 2 x x 2 + 4 x - 2 2 x 2 + 1 2

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