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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5q

Calcule a derivada segunda.

f (x) = (4 x + 5)/(x^2 - 1)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y^' :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = 4 x + 5

e

g (x) = x^2 - 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = ((4 x + 5)/(x^2 - 1))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((4 x + 5)^' (x^2 - 1) - (4 x + 5) (x^2 - 1)^')/((x^2 - 1)^2) = ((4 x^(1 - 1) + 0) (x^2 - 1) - (4 x + 5) (2 x^(2 - 1) - 0))/((x^2 - 1)^2) = (4 x^0 (x^2 - 1) - (4 x + 5) (2 x))/((x^2 - 1)^2) = (4 * (x^2 - 1) - 8 x^2 - 10 x)/((x^2 - 1)^2) = (4 x^2 - 4 - 8 x^2 - 10 x)/((x^2 - 1)^2) = (- 4 x^2 - 1 0 x - 4)/((x^2 - 1)^2)

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y^' :

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = - 4 x^2 - 10 x - 4

e

g (x) = (x^2 - 1)^2

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = ((- 4 x^2 - 10 x - 4)/((x^2 - 1)^2))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((- 4 x^2 - 10 x - 4)^' (x^2 - 1)^2 - (- 4 x^2 - 10 x - 4) ((x^2 - 1)^2)^')/(((x^2 - 1)^2)^2) = ((- 2 * 4 x^(2 - 1) - 10 x^(1 - 1) - 0) (x^2 - 1)^2 - (- 4 x^2 - 10 x - 4) 2 (x^2 - 1)^(2 - 1) (x^2 - 1)^')/((x^2 - 1)^4) = ((- 8 x - 10 x^0) (x^2 - 1)^2 - 2 (- 4 x^2 - 10 x - 4) (x^2 - 1) (2 x^(2 - 1) - 0))/((x^2 - 1)^4) = ((- 8 x - 10 * 1) (x^2 - 1) - 2 (- 4 x^2 - 10 x - 4) (2 x))/((x^2 - 1)^3) = (- 8 x^3 + 8 x - 10 x^2 + 10 + 16 x^3 + 40 x^2 + 16 x)/((x^2 - 1)^3) = (8 x^3 + 30 x^2 + 24 x + 10)/((x^2 - 1)^3)

Resposta

y^(' ') = (8 x^3 + 30 x^2 + 24 x + 10)/((x^2 - 1)^3)

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Use o resultado do Exercício 52 (a) para provar que se g for uma função par e g ' ( x ) existir, então se h x = ( f ∘ g ) ( x ) e se f for derivável em toda parte, h ' 0 = 0 .
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 4
Dadas f u = u 2 + 5 u + 5 e g x = ( x + 1 ) / ( x - 1 ) , ache a derivada de f ∘ g de duas maneiras: (a) encontrando primeiro ( f ∘ g ) ( x ) e então calculando ( f ∘ g ) ' ( x ) ; (b) usando a regra