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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.12 - Ex. 1d

Calcule a derivada.

d) y = (2 x + 1)^x

Passo 1

Para resolver essa derivada, vamos utilizar a regra da cadeia e a regra para derivada de expoentes, mas vamos aos poucos, nossa função é:

y = (2 x + 1)^x

Pela regra da derivada de expoentes, ela pode ser reescrita como:

y = f (x)^(g (x))

E sua derivada seria dada por:

(d y)/(d x) = f (x)^(g (x)) . [ g (x) l n f (x) ] '

Onde pelo nosso problema, temos que

g (x) = x

f (x) = 2 x + 1

Substituindo nossa f (x) e nossa g ( x ) ...

(d y)/(d x) = (2 x + 1)^x . [ x l n (2 x + 1) ] '

Agora, só falta sabermos derivar esse cara aí da esquerda!

Passo 2

É agora que entra a famosa regra do produto:

[x . ln (2 x + 1)]^' = 1 . ln (2 x + 1) + x . [ ln (2 x + 1) ] '

Regra do produto aplicada! Derivamos o x , que foi tranquilo. Agora precisamos derivar o l n ( 2 x + 1 ) , e para ele, vamos aplicar a regra da cadeira! Bora?

[ln (2 x + 1)]^' = (2 x + 1)^' . l n ' ( 2 x + 1 )

[ln (2 x + 1)]^' = 2 . (1)/(2 x + 1) = (2)/(2 x + 1)

Dessa forma, substituindo:

[x . ln (2 x + 1)]^' = ln (2 x + 1) + (2 x)/(2 x + 1)

Pronto, derivada calculada é substituir na fórmula agora!

Passo 3

Agora, para fechar nossa questão, é só substituir tudão :D

(d y)/(d x) = f (x)^(g (x)) . [ g (x) l n f (x) ] '

(d y)/(d x) = (2 x + 1)^x . [x l n (2 x + 1)]^'

(d y)/(d x) = (2 x + 1)^x . [ln (2 x + 1) + (2 x)/(2 x + 1)]

Resposta

(d y)/(d x) = (2 x + 1)^x [ln (2 x + 1) + (2 x)/(2 x + 1)]

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