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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 11

Momento de inércia polar de uma placa elíptica Uma placa fina de densidade constante cobre a região delimitada pela

elipse x2/a2 + y2/b2 = 1, a > 0, b > 0, no plano xy. Encontre o

primeiro momento da placa em relação à origem (Sugestão:

utilize a transformação x = ar cos u, y = br sen u.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício nos é dito que uma placa fina de densidade constante cobre a região delimitada pela elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , a > 0 , b > 0 no plano x y . A questão pede para encontrarmos o primeiro momento da placa sobre a origem.Vamos à resolução? Acompanhe!

Passo 2

Seja x = a r ⁡ c o s ⁡ θ , y = a r s e n ⁡ θ . O jacobiano valerá então:

∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = J ( r , θ ) = a c o s ⁡ θ - a r s e n ⁡ θ b s e n ⁡ θ b r c o s ⁡ θ J ( r , θ ) = a b r c o s 2 ⁡ θ + a b r s e n 2 ⁡ θ J ( r , θ ) = a b r

O primeiro momento será calculado da seguinte forma:

I 0 = ∬ R     x 2 + y 2 d A I 0 = ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     r 2 a 2 c o s 2 ⁡ θ + b 2 s e n 2 ⁡ θ J ( r , θ ) d r d θ I 0 = ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     a b r 3 a 2 c o s 2 ⁡ θ + b 2 s e n 2 ⁡ θ d r d θ I 0 = a b 4 ∫ 0 2 π     a 2 c o s 2 ⁡ θ + b 2 s e n 2 ⁡ θ d θ I 0 = a b 4 a 2 θ 2 + a 2 s e n ⁡ 2 θ 4 + b 2 θ 2 - b 2 s e n ⁡ 2 θ 4 0 2 π I 0 = a b π a 2 + b 2 4

Resposta

Portanto, a resposta é I 0 = a b π a 2 + b 2 4 .

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