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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 75

Calcule y ' ' nos Exercícios 71-78.

75. y = x . ( 2 x + 1 )^4

Passo 1

Para derivarmos y , de ínicio teremos que utilizar a regra do produto, uma vez que há uma multiplicação entre duas funções, certo? A regra do produto nos diz o seguinte:

y^' = u^' . v + u . v '

Nesse caso temos:

u = x

v = ( 2 x + 1 )^4

Passo 2

Derivando u e v , temos:

u^' = 1

v^' = 4 . (2 x + 1)^3 . ( 2 x + 1 ) '

:. v^' = 8 . ( 2 x + 1 ) ³

Jogando na regra do produto, teremos:

y^' = 1 . ( 2 x + 1 )^4 + x . 8 . ( 2 x + 1 ) ³

:. y^' = ( 2 x + 1 )^4 + 8 x . ( 2 x + 1 ) ³

Passo 3

Sabemos que a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas, certo? Naquela segunda derivada ali, também teremos que utilizar a regra do produto, beleza? Mas como já enunciamos acima, vamos fazer de forma mais direta, ok? Se liga!

y^(' ') = 4 . (2 x + 1) ³ . (2 x + 1)^' + ( u^' . v + u . v^' )

y^(' ') = 8 . (2 x + 1)^3 + [8 . (2 x + 1)^3 + 8 x . 3 . (2 x + 1)^2 . (2 x + 1)^']

y^(' ') = 8 . (2 x + 1)^3 + 8 . (2 x + 1)^3 + 48 x . ( 2 x + 1 ) ²

:. y^(' ') = 16 . (2 x + 1)^3 + 48 x . ( 2 x + 1 ) ²

Resposta

y^(' ') = 16 . (2 x + 1)^3 + 48 x . ( 2 x + 1 ) ²

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