Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 32
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Fala, galerinha! Tudo tranquilo?
Precisamos começar descobrindo se nossa série dada é convergente ou divergente.
Depois precisamos calcular a soma da série.
A estratégia de resolução dessa questão é que veremos se tratar de uma série geométrica e para séries geométricas já temos expressões prontas para análise de convergência e cálculo de soma.
Olhando nossa sequência já vemos que precisaremos manipulá-la para entender se ela converge ou diverge. O fato de termos expoente no numerador e no denominador pode indicar que podemos colocar esse para “fora” da nossa fração e ficaremos com algo no formato de uma série geométrica:
Fazemos isso porque quando temos séries geométricas nossa análise de convergência ou divergência se torna muito mais fácil, já que temos expressões prontas para isso. Para a soma de séries geométricas temos:
Passo 2
Já vou te passar logo o bizu, você concorda comigo que, quando esse esse é tão pequenininho que a gente nem pensa nele? o valor de 1 se torna tão pequeno em comparação com que ele praticamente não faz diferença no resultado final. Isso acontece porque cresce muito rapidamente à medida que aumenta, enquanto 1 permanece constante.
Então, ao calcular a soma da série, podemos pensar apenas em no numerador, porque ele domina o comportamento da série quando é grande.
Então, nessa lógica a gente pode dizer que:
Passo 3
Vamos reescrever novamente nossa série usando a propriedade:
Nota que esse formato parece familiar.
Essa série é quase uma geométrica de , para que ela vire geométrica basta que iniciemos ela em , mas se fizermos isso, estaremos adicionando um termo a serie, observe:
Para isso basta que mudemos o índice e subtraiamos o primeiro termo
Bom, vamos usar o valor de para ver a convergência ou divergência da série geométrica:
- Para que ela convirja:
- Para que ela divirja:
Show de bola, como temos , ela diverge.
Resposta
Diverge.