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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 16

Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = cos ⁡ 2 t

y = cos ⁡ t

0 ≤ t ≤ π

Passo 1

A derivada primeira da curva é dada por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = cos ⁡ t

d y d t = - sen ⁡ t

Agora a derivada de x :

x = cos ⁡ 2 t

d x d t = - 2 sen ⁡ 2 t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = - sen ⁡ t - 2 sen ⁡ 2 t = sen ⁡ t 2 sen ⁡ 2 t

Passo 3

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Então, vamos pegar a derivada d y d x e derivar em relação a t e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de x em relação a t nós já temos.

d y d x = sen ⁡ t 2 sen ⁡ 2 t

Usando a regra do quociente:

d d t d y d x = cos ⁡ t 2 sen ⁡ 2 t + 4 cos ⁡ 2 t sen ⁡ t 2 sen ⁡ 2 t 2

d d t d y d x = 2 cos ⁡ t sen ⁡ 2 t + 4 cos ⁡ 2 t sen ⁡ t 4 sen 2 ⁡ 2 t

Passo 4

Já temos tudo, então agora é só substituir.

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = 2 cos ⁡ t sen ⁡ 2 t + 4 cos ⁡ 2 t sen ⁡ t 4 sen 2 ⁡ 2 t - 2 sen ⁡ 2 t

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = - 2 cos ⁡ t sen ⁡ 2 t + 4 cos ⁡ 2 t sen ⁡ t 8 sen 3 ⁡ 2 t

Passo 5

Para descobrir para quais valores de t a curva é côncava para cima, precisamos fazer

d 2 y d x 2 > 0

Assim

- 2 cos ⁡ t sen ⁡ 2 t + 4 cos ⁡ 2 t sen ⁡ t 8 sen 3 ⁡ 2 t > 0

Cosseno e seno estão sempre entre - 1 e 1 . Se a gente multiplica os dois, essa multiplicação vai ser sempre maior do que zero, logo esse numerador é sempre maior que zero.

Assim, pra essa derivada segunda ser maior que zero, precisamos que esse denominador seja menor do que zero, por causa desse sinal de menos que tem na frente. Então

8 sen ⁡ 2 t 3 < 0

sin ⁡ 2 t < 0

2 t = 0

t = 0

A concavidade é para cima quando t = 0 .

Resposta

d y d x = sen ⁡ t 2 sen ⁡ 2 t

d 2 y d x 2 = - 2 cos ⁡ t sen ⁡ 2 t + 4 cos ⁡ 2 t sen ⁡ t 8 sen 3 ⁡ 2 t

A concavidade é para cima quando t = 0 .

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