Encontre e . Para quais valores de a curva é côncava para cima?

Vamo começar pela derivada de :

Agora a derivada de :

Substituindo na fórmula

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

Então, vamos pegar a derivada e derivar em relação a e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de em relação a nós já temos.

Usando a regra do quociente:

Já temos tudo, então agora é só substituir.

Para descobrir para quais valores de a curva é côncava para cima, precisamos fazer

Assim

Cosseno e seno estão sempre entre e . Se a gente multiplica os dois, essa multiplicação vai ser sempre maior do que zero, logo esse numerador é sempre maior que zero.

Assim, pra essa derivada segunda ser maior que zero, precisamos que esse denominador seja menor do que zero, por causa desse sinal de menos que tem na frente. Então

A concavidade é para cima quando .