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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 1

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

1. x = 2 c o s t ,   y = 2   s e n   t ,   t = π / 4

Passo 1

Fala, galera! Estamos começando mais uma seção do livro. Animados? To gostando de ver, então, bora lá!

A questão pede para calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto. Para isso, primeiro temos que identificar qual é o ponto, calcular o coeficiente angular da reta usando a fórmula

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

e calcular d 2 y / d x 2 usando a fórmula

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t .

Agora que já sabemos o que fazer, vamos colocar a mão na massa.

Passo 2

Nós temos que calcular tudo no ponto que corresponde a t = π / 4 , ou seja, quando temos

x = 2 c o s t = 2 c o s   π 4 = 2 2 2 = 2

e

y = 2   s e n   t = 2   s e n   π 4 = 2 2 2 = 2

Ou seja, queremos calcular tudo no ponto ( x , y ) = ( 2 , 2 ) .

Passo 3

Agora, vamos calcular todas as derivadas que são necessárias:

d x d t = - 2 s e n   t

d y d t = 2 c o s t

Assim,

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = 2   c o s   t - 2   s e n   t = - c o t t

Esse é o coeficiente angular da curva, guarda essa informação. Agora que temos y ' , podemos calcular

d y ' d t = - - c s c 2 t = c s c 2 t

e, com isso, obter

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = c s c 2 t - 2 s e n   t = - 1 2   s e n 3   t

No ponto t = π / 4 , nós temos

d 2 y d x 2 = - 1 2   s e n 3   t | t = π / 4 = - 2

Passo 4

Para finalizar, vamos calcular a reta tangente à curva no ponto ( 2 , 2 ) , lembrando que o coeficiente angular é - c o t t | t = π / 4 = - 1 :

y - 2 = - 1 ⋅ ( x - 2 )

⇒ y - 2 = 2 - x

⇒ y = 2 2 - x

Prontinho, finalizamos a questão com sucesso. Nos vemos na próxima!

Resposta

y = 2 2 - x

d 2 y d x 2 = - 2

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