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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 8

Calcule a integral:

int t sec^2 2 t d t

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

[[d,v,=,sec^2 2 t,d,t,v,=,,?],[u,=,t,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,sec^2 2 t,d,t,v,=,int sec^2 2 t d t =,((tan 2 t)/(2)),+,C],[u,=,t,d,u,=,,1,d,t]]

Devemos lembrar que (tan t)^' = sec^2 t . A primitiva que precisávamos para achar v .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace t) underset(d v)(ubrace sec^2 2 t d t) = underset(u)(ubrace t) underset(v)(ubrace ((tan 2 t)/(2))) - int underset(v)(ubrace (tan 2 t)/(2)) underset(d u)(ubrace 1 d t)

int t sec^2 2 t d t = (t tan 2 t)/(2) - (1)/(2) int tan 2 t d t

Passo 4

Vamos precisar achar a integral int tan 2 t d t = int (sen 2 t)/(cos 2 t) d t . Para isso, vamos efetuar a seguinte substituição:

[[u,=,cos 2 t],[d,u,=,-,2 sen 2 t,d,t,,->,,-,(d u)/(2),=,sen 2 t,d,t]]

A integral na variável u será uma integral imediata:

int tan 2 t d t = int (1)/(u) (- (d u)/(2)) = - (1)/(2) int (1)/(u) d u = - (1)/(2) ln |u| + C = - (1)/(2) ln |cos 2 t| + C

Pronto.

Passo 5

Agora substituímos o resultado em:

int t sec^2 2 t d t = (t tan 2 t)/(2) - (1)/(2) int tan 2 t d t = (t tan 2 t)/(2) - (1)/(2) (- (1)/(2) ln |cos 2 t|) + C

int t sec^2 2 t d t = (t tan 2 t)/(2) + (1)/(4) ln |cos 2 t| + C

Não pode esquecer da constante.

Resposta

int t sec^2 2 t d t = (t tan 2 t)/(2) + (1)/(4) ln |cos 2 t| + C

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