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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 25

Calcule as integrais em coordenadas esféricas:

int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(3)) int_(sec (varphi))^2 3 rho^2 s e n (varphi) d rho d varphi d theta

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

As técnicas utilizadas para resolver esse tipo de problema costuma ser de tipo relações trigonométricas, então é bom termos esse conhecimento para que possamos resolver o mais rápido e de forma correta.

Dito isso... Vem comigo!

Passo 2

int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(3)) (s e n (varphi) [rho^3]_(sec (varphi))^2) d varphi d theta

int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(3)) ( s e n (varphi) (2^3 - sec^3 (varphi)) d varphi d theta

int_0^(2 pi) (2^3 int_0^((pi)/(3)) s e n (varphi) d varphi - int_0^((pi)/(3)) s e n (varphi) sec^3 (varphi) d varphi) d theta

int_0^(2 pi) (2^3 int_0^((pi)/(3)) s e n (varphi) d varphi - int_0^((pi)/(3)) t g ( varphi ) sec^2 (varphi) d varphi) d theta

Vamos resolver a parte da integral de d varphi para ambos os termos isoladamente

Passo 3

Vamos resolver a parte da integral de d varphi para ambos os termos isoladamente

Para o primeiro:

2^3 int_0^(2 pi) s e n (varphi) d varphi

2^3 ([- cos (varphi)]_0^((pi)/(3)))

2^3 (- (1)/(2) + 1) = 2^2

Para o segundo:

- int_0^((pi)/(3)) t g (varphi) sec^2 (varphi) d varphi

Façamos u = t g (varphi) logo d u = sec^2 (varphi) d varphi e quando varphi = 0 , u = 0 e para varphi = (pi)/(3) , u = sqrt(3) . Assim:

- int_0^(sqrt(3)) u d u

- ((1)/(2) [u^2]_0^(sqrt(3)))

- (3)/(2)

int_0^(2 pi) (4 - (3)/(2)) d theta

(5)/(2) int_0^(2 pi) d theta

(5)/(2) ([theta]_0^(2 pi))

5 pi

Resposta

5 pi

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