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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 60

Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por y = t g   x , y = 1 e x = 0 gira em torno do eixo x .

Passo 1

Podemos achar o volume de um sólido de rotação em torno de x pela expressão:

V = ∫ a b π f x 2 - g x 2 d x

Onde a nossa região é limitada por g ( x ) (por baixo), por f ( x ) (por cima), x = a e x = b .

Tudo o que a gente precisa fazer é montar essa integral com as informações do enunciado e calcular.

Passo 2

Vamos entender que região é essa olhando num gráfico:

Primeiro vemos que a função que limita ela por cima é y = f x = 1 e por baixo a função y = g x = t g   x . Vemos também que um dos limites de integração é x = a = 0 . Para descobrir o outro precisamos achar a interseção entre f ( x ) e g ( x ) . Vamos lá:

t g   x = 1 ∴ x = a r c t g   1 = π 4 = b

Agora é só montar a integral:

V = ∫ 0 π 4 π [ 1 - t g 2 x ] d x

Passo 3

Agora é só resolver a integral. Vamos lembrar que:

sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2 x ∴ sec 2 ⁡ x - 1 = t g 2 x

Substituindo isso na nossa integral:

V = ∫ 0 π 4 π [ 1 - sec 2 ⁡ x - 1 ] d x = π ∫ 0 π 4 2 - sec 2 ⁡ x d x

Agora é só lembrar que:

t g   x ' = sec 2 ⁡ x

Então:

V = π 2 x - t g   x ​ 0 π 4 = π 2 2 - π

Resposta

V = π 2 2 - π

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