Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por , e gira em torno do eixo .
Passo 1
Podemos achar o volume de um sólido de rotação em torno de pela expressão:
Onde a nossa região é limitada por (por baixo), por (por cima), e .
Tudo o que a gente precisa fazer é montar essa integral com as informações do enunciado e calcular.
Passo 2
Vamos entender que região é essa olhando num gráfico:
Primeiro vemos que a função que limita ela por cima é e por baixo a função . Vemos também que um dos limites de integração é . Para descobrir o outro precisamos achar a interseção entre e . Vamos lá:
Agora é só montar a integral:
Passo 3
Agora é só resolver a integral. Vamos lembrar que:
Substituindo isso na nossa integral:
Agora é só lembrar que:
Então: