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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 4

Calcule a integral usando integração por partes

int c o s^(- 1) ((x)/(2)) d x

Passo 1

Utilizando integração por partes, suponha

u = c o s^(- 1) ((x)/(2)) => d u = - (1)/(sqrt(1 - ((x)/(2))^2)) . ((1)/(2)) d x => d u = - (1)/(2 sqrt(1 - (x^2)/(4))) d x

=> d u = - (1)/(2 sqrt((4 - x^2)/(4))) d x => d u = - (1)/(2 (sqrt(4 - x^2))/(2)) d x => d u = - (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x

d v = 1 => v = x

Sabemos que,

int u d v = u v - int v d u

Sendo assim,

=> int c o s^(- 1) ((x)/(2)) d x

= c o s^(- 1) ((x)/(2)) x - int x (- (1)/(sqrt(4 - x^2))) d x

= x c o s^(- 1) ((x)/(2)) + int (x)/(sqrt(4 - x^2)) d x

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar o C , porém, faremos isso ao final.

Passo 2

Utilizando o método de substituição suponha

u = 4 - x^2 => d u = - 2 x d x => d x = - (1)/(2 x) d u

Sendo assim,

int (x)/(sqrt(4 - x^2)) d x = int (x)/(sqrt(u)) (- (1)/(2 x)) d x

Utilizando a propriedade de integrais de retirada da constante teremos

= - (1)/(2) int (1)/(sqrt(u)) d x = - (1)/(2) int (1)/(u^((1)/(2))) d x = - (1)/(2) int u^(- (1)/(2)) d x

= - (1)/(2) 2 u^((1)/(2)) = - u^((1)/(2)) = - sqrt(4 - x^2)

Como estamos não estamos com a integral definida, ou seja, desejamos apenas encontrar a primitiva então vamos voltar a variável x . Isto é,

int (x)/(sqrt(4 - x^2)) d x = - sqrt(4 - x^2)

Portanto,

int c o s^(- 1) ((x)/(2)) d x = x c o s^(- 1) ((x)/(2)) - sqrt(4 - x^2) + C

Resposta

int c o s^(- 1) ((x)/(2)) d x = x c o s^(- 1) ((x)/(2)) - sqrt(4 - x^2) + C

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