Calcule as somas nos Exercícios 19-32.

19.a.

∑ k = 1 10 k

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa somatória.

Passo 2

Vamos analisar essa somatória.

Para cada termo k varia em uma unidade, começando de k = 1 até k = 10

∑ k = 1 10 k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Note que se somarmos o último termo com o primeiro termo o resultado é 11, se somarmos o segundo termo com o penúltimo termo também vai ser 11, assim como o antepenúltimo e o terceiro e assim por diante.

A gente pode reorganizar esses termos da seguinte forma

∑ k = 1 10 k = 10 + 1 + 9 + 2 + 8 + 3 + 7 + 4 + 6 + 5

Isso é a mesma coisa que

∑ k = 1 10 k = 10 + 1 + 9 + 2 + 8 + 3 + 7 + 4 + 6 + 5 = 11 + 11 + 11 + 11 + 11

= 5 ⋅ 11 = 55

Passo 3

Repare que se generalizarmos para uma somatória qualquer teríamos

∑ k = 1 10 k = a 0 + a n + a 1 + a n - 1 + a 2 + a n - 2 + … + a m + a n - m

E como todos os termos dentro dos parênteses são iguais, e estamos somando metade dos termos totais da somatória

∑ k = 1 10 k = a 0 + a n n 2

Resposta

O resultado da somatória é 55 .

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