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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.9 - Ex. 3d

d) int (s e n^3 (x))/(cos (x)) d x

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = int (s e n^3 (x))/(cos (x)) d x

Passo 2

Utilizando o exercício 2, temos a ideia de fazer a seguinte substituição:

u = c o s ( x )

Derivando,

d u = - s e n (x) d x

Isolando o fator sen ( x ) d x , temos:

int (s e n^3 (x))/(cos (x)) d x = int (s e n^2 (x))/(cos (x)) * s e n (x) d x

Como nossa substituição é u = c o s ( x ) , seria bom colocar o s e n^2 (x) em função de u !!

Lá da trigonometria, temos:

s e n^2 (x) + cos^2 (x) = 1

Logo,

s e n^2 (x) = 1 - u^2

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = int (s e n^2 (x))/(cos (x)) * s e n (x) d x

Indo para variável u :

I = int ((1 - u^2))/(u) (- d u) = - int (1 - u^2)/(u) d u

Quebrando em duas partes:

I = - int (d u)/(u) + int u d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1 e int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Integrando, temos:

I = - ln |u| + (u^2)/(2) + c

Voltando para nossa variável inicial:

I = - l n | c o s ( x ) | + (cos^2 (x))/(2) + c

Pra deixar igual ao gabarito é só usar a relação fundamental de novo:

I = - l n | c o s ( x ) | + (1 - sen^2 (x))/(2) + c = - l n | c o s ( x ) | - (sen^2 (x))/(2) + c

Repara que o (1)/(2) entrou na constante 😉

Resposta

- l n | c o s ( x ) | - (sen^2 (x))/(2) + c

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