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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.9 - Ex. 3b

b) int cos^3 (x) (1 + sqrt(s e n (x))) d x

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = int cos^3 (x) * (1 + sqrt(s e n (x))) d x = int (1 + sqrt(s e n (x))) * cos^3 (x) d x

Passo 2

Utilizando o exercício 2, temos a ideia de fazer a seguinte substituição:

u = s e n ( x )

Derivando,

d u = cos (x) d x

Bem, agora vamos encaixar tudo na nossa integral:

int (1 + sqrt(s e n (x))) * cos^3 (x) d x

Como nosso d u = cos (x) d x , vamos fazer ele aparecer:

int (1 + sqrt(s e n (x))) * cos^2 (x) * cos (x) d x

Só tem aquele cos^2 (x) atrapalhando a gente, então vamos colocar ele em função de s e n (x)

s e n^2 (x) + cos^2 ( x ) = 1

Logo,

cos^2 (x) = 1 - s e n^2 (x) = 1 - u^2

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = int (1 + sqrt(s e n (x))) * cos^2 (x) * cos (x) d x

Indo para variável u :

I = int (1 + sqrt(u)) * (1 - u^2) d u = int (1 - u^2 + u^((1)/(2)) - u^((5)/(2))) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Logo,

I = u - (u^(2 + 1))/(2 + 1) + (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) - (u^((5)/(2) + 1))/((5)/(2) + 1) + c

Agora vamos fazer essas contas:

I = u - (u^3)/(3) + (2)/(3) * u^((3)/(2)) - (2)/(7) * u^((7)/(2)) + c

Voltando para nossa variável inicial:

I = s e n (x) - (s e n^3 (x))/(3) + (2)/(3) * sqrt(s e n^3 (x)) - (2)/(7) * sqrt(s e n^7 (x)) + c

Resposta

s e n (x) - (s e n^3 (x))/(3) + (2)/(3) * sqrt(s e n^3 (x)) - (2)/(7) * sqrt(s e n^7 (x)) + c

Ver Outros Exercícios desse livro

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Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais. ∫ x - 2 x - 1 d x
Calcule a integral indefinida:int (d x)/(x sqrt(x^4 - 4))
Calcule a integral indefinida:int (d x)/((5 - 4 x - x^2)^((3)/(2)))
Calcule a integral indefinida:int (sec^2 x d x)/((4 - tan^2 x)^((3)/(2)))
Calcule a integral indefinida:int (e^(- x) d x)/((9 e^(- 2 x) + 1)^((3)/(2)))