Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

13. ∫ π 2 0 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t

Passo 1

Inicialmente, a primeira coisa que devemos fazer é escrever essa integral de outra maneira, se liga:

1 2 ∫ π 2 0 d t + 1 2 ∫ π 2 0 cos ⁡ 2 t d t

Para resolver essa segunda integral, teremos que utilizar o raciocínio do teorema fundamental do cálculo, ok? Temos que pensar o seguinte: qual é a função que quando derivada dá o integrando? Isto é:

F ' x = d d x ∫ 0 x f ( t ) d t = f ( x )

Parece um bicho de 7 cabeças, não é mesmo? Mas fazendo algumas questões já fica claro que não é. Se liga!

Passo 2

Que função que derivada dá cos ⁡ 2 t ? Se pensarmos um pouquinho, veremos que é 1 2 s e n   2 t , certo? Aplicando esse raciocínio, teremos:

1 2 ∫ π 2 0 d t + 1 2 ∫ π 2 0 cos ⁡ 2 t d t = 1 2 t 0 π 2 + 1 2 . 1 2 [ s e n   2 t ] 0 π 2

1 2 ∫ π 2 0 d t + 1 2 ∫ π 2 0 cos ⁡ 2 t d t = - π 4 + 0

∴ ∫ π 2 0 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t = - π 4

Resposta

∫ π 2 0 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t = - π 4

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