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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 13

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

13. int_((pi)/(2))^0 (1 + cos 2 t)/(2) d t

Passo 1

Inicialmente, a primeira coisa que devemos fazer é escrever essa integral de outra maneira, se liga:

(1)/(2) int_((pi)/(2))^0 d t + (1)/(2) int_((pi)/(2))^0 cos 2 t d t

Para resolver essa segunda integral, teremos que utilizar o raciocínio do teorema fundamental do cálculo, ok? Temos que pensar o seguinte: qual é a função que quando derivada dá o integrando? Isto é:

F^' (x) = (d)/(d x) int_0^x f ( t ) d t = f ( x )

Parece um bicho de 7 cabeças, não é mesmo? Mas fazendo algumas questões já fica claro que não é. Se liga!

Passo 2

Que função que derivada dá cos 2 t ? Se pensarmos um pouquinho, veremos que é (1)/(2) s e n 2 t , certo? Aplicando esse raciocínio, teremos:

(1)/(2) int_((pi)/(2))^0 d t + (1)/(2) int_((pi)/(2))^0 cos 2 t d t = (1)/(2) [t] (0)/((pi)/(2)) + (1)/(2) . (1)/(2) [ s e n 2 t ] (0)/((pi)/(2))

(1)/(2) int_((pi)/(2))^0 d t + (1)/(2) int_((pi)/(2))^0 cos 2 t d t = - (pi)/(4) + 0

:. int_((pi)/(2))^0 (1 + cos 2 t)/(2) d t = - (pi)/(4)

Resposta

int_((pi)/(2))^0 (1 + cos 2 t)/(2) d t = - (pi)/(4)

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