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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 15

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

15. int_0^((pi)/(4)) t g ² x d x

Passo 1

Então galera, essa aqui é uma integral bastante interessante. De início, não sabemos como resolver essa integral aí, certo? Mas utilizando trigonometria, sabemos que:

t g^2 x = s e c^2 x - 1

Substituindo esse valor na nossa integral e separando as integrais pela propriedade de soma e subtração, teremos:

int_0^((pi)/(4)) t g ² x d x = int_0^((pi)/(4)) s e c ² x d x - int_0^((pi)/(4)) d x

Passo 2

Para resolvermos essa primeira integral, devemos utilizar o raciocínio do teorema fundamental do cálculo, ok? Temos que pensar o seguinte: qual é a função que quando derivada dá o integrando? Isto é:

F^' (x) = (d)/(d x) int_0^x f ( t ) d t = f ( x )

Parece um bicho de 7 cabeças, não é mesmo? Mas fazendo algumas questões já fica claro que não é. Se liga!

Passo 3

Que função que derivamos e dá s e c ² x ? Essa função é t g x , assim como foi visto em derivadas, certo? Portanto, teremos:

int_0^((pi)/(4)) s e c ² x d x - int_0^((pi)/(4)) d x = [t g x] ((pi)/(4))/(0) - [x] ((pi)/(4))/(0)

int_0^((pi)/(4)) s e c ² x d x - int_0^((pi)/(4)) d x = (1 - 0) - ((pi)/(4) - 0)

:. int_0^((pi)/(4)) t g ² x d x = 1 - (pi)/(4)

Resposta

int_0^((pi)/(4)) t g ² x d x = 1 - (pi)/(4)

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