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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 41

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int sqrt((x^3 - 3)/(x^(11))) d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos tentar fazer nesse exercício é tentar mexer nessa fração.

int sqrt((x^3 - 3)/(x^(11))) d x = int sqrt((x^3 - 3)/(x^8 x^3)) d x

Tirando o termo x^8 da raíz:

int (1)/(x^4) sqrt((x^3 - 3)/(x^3)) d x = int (1)/(x^4) sqrt(1 - (3)/(x^3)) d x

Passo 2

Vamos agora fazer uma substituição de variável:

u = 1 - (3)/(x^3)

Derivando essa variavél nova:

d u = (1 - (3)/(x^3))^' = (0 + (9)/(x^4)) d x = (9)/(x^4) d x

(d u)/(9) = (d x)/(x^4)

Substituindo na integral:

int (1)/(x^4) sqrt(1 - (3)/(x^3)) d x = int sqrt(1 - (3)/(x^3)) * (d x)/(x^4) = int sqrt(u) * (d u)/(9)

Aí é só resolver a integral:

(1)/(9) int sqrt(u) d u = (1)/(9) int u^((1)/(2)) d u = ((1)/(9) u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) = ((1)/(9) u^((3)/(2)))/((3)/(2)) = (2)/(27) u^((3)/(2))

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

(2)/(27) u^((3)/(2)) = (2)/(27) (1 - (3)/(x^3))^(3 // 2) + C

Fim!!!

Resposta

(2)/(27) (1 - (3)/(x^3))^(3 // 2) + C

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