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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 42

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int sqrt((x^4)/(x^3 - 1)) d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos tentar fazer nesse exercício é tentar mexer nessa fração.

int sqrt((x^4)/(x^3 - 1)) d x = int x^2 sqrt((1)/(x^3 - 1)) d x = int (x^2)/(sqrt(x^3 - 1)) d x

Passo 2

Vamos agora fazer uma substituição de variável:

u = x^3 - 1

Derivando essa variavél nova:

d u = (x^3 - 1)^' = (3 x^2 + 0) d x = 3 x^2 d x

(d u)/(3) = x^2 d x

Substituindo na integral:

int (x^2)/(sqrt(x^3 - 1)) d x = int (1)/(sqrt(x^3 - 1)) x^2 d x = int (1)/(sqrt(u)) * (d u)/(3)

Aí é só resolver a integral:

(1)/(3) int (1)/(sqrt(u)) d u = (1)/(3) int u^(- (1)/(2)) d u = ((1)/(3) u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) = ((1)/(3) u^((1)/(2)))/((1)/(2)) = (2)/(3) u^((1)/(2))

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

(2)/(3) u^((1)/(2)) = (2)/(3) (x^3 - 1)^((1)/(2)) + C

Fim!!!

Resposta

(2)/(3) (x^3 - 1)^((1)/(2)) + C

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