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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 30

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 2 4 d x x ln ⁡ x

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = ln ⁡ x

Derivando dos dois lados:

d u = d x x

Além disso, vamos transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

x = 2 → u = ln ⁡ 2

x = 4 → u = ln ⁡ 4

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 2 4 d x x ln ⁡ x = ∫ 2 4 1 ln ⁡ x ∙ d x x = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 4 d u u

Calculando a integral:

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 4 d u u = ln ⁡ u ln ⁡ 2 ln ⁡ 4 = ln ⁡ ln ⁡ 4 - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ln ⁡ ln ⁡ 2 2 - ln ⁡ ln ⁡ 2

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 4 d u u = ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2

Prontinho!!!

Resposta

ln ⁡ 2

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