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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 11

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

  1. ∫ 0 π / 6 1 - cos ⁡ 3 t sin ⁡ 3 t d t
  2. ∫ π / 6 π / 3 1 - cos ⁡ 3 t sin ⁡ 3 t d t

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = 1 - cos ⁡ 3 t

Derivando dos dois lados:

d u = 0 + sin ⁡ 3 t ∙ 3 t ' d t

d u = 3 sin ⁡ 3 t d t

d u 3 = sin ⁡ 3 t d t

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral:

t = 0 → u = 1 - cos ⁡ 3 ∙ 0 = 0

t = π / 6 → u = 1 - cos ⁡ 3 ∙ π 6 = 1

Assim,

∫ 0 π / 6 1 - cos ⁡ 3 t sin ⁡ 3 t d t = ∫ 0 1 u d u 3

Calculando a integral:

1 3 ∫ 0 1 u d u = 1 3 u 2 2 0 1 = 1 3 1 2 2 - 0 2 2 = 1 6

Passo 2

Fazendo agora para os outros limites superior e inferior:

t = π / 6 → u = 1 - cos ⁡ 3 ∙ π 6 = 1

t = π / 3 → u = 1 - cos ⁡ 3 ∙ π 3 = 2

Logo,

1 3 ∫ 1 2 u d u = 1 3 u 2 2 1 2 = 1 3 2 2 2 - 1 2 2 = 1 2

Resposta

  1. 1 / 6
  2. 1 / 2
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