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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 56

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (ln sqrt(t))/(t) d t

Passo 1

Vamos começar tentando uma substituição de variável:

u = sqrt(t)

Derivando dos dois lados:

d u = (d t)/(2 sqrt(t))

2 sqrt(t) d u = d t

Substituindo na integral:

int (ln sqrt(t))/(t) d t = int (ln u)/(t) 2 sqrt(t) d u = int (ln u)/(t) 2 u d u

Conseguimos substituir o termo sqrt(t) e d t , mas falta substituir o termo t , para isso:

u = sqrt(t) -> t = u^2

Passo 2

Substituindo na integral:

2 int (ln u)/(t) u d u = 2 int (ln u)/(u^2) u d u = 2 int (ln u)/(u) d u

Agora precisamos fazer mais uma substituição:

w = ln u

d w = (d u)/(u)

Substituindo na integral:

2 int w d w

Vamos resolver a integral agora:

2 int w d w = 2 (w^2)/(2) = w^2

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

w^2 = (ln u)^2 = (ln sqrt(t))^2 + C

Fim!!!

Resposta

(ln sqrt(t))^2 + C

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