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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 64

Calcule a integral int (1)/(sqrt(1 + sqrt(x))) d x .

Passo 1

Façamos uma substituição simples do tipo u.du, seguindo:

u = 1 + sqrt(x)

x = ( u - 1 )^2

d x = 2 (u - 1) d u

Aplicando isso na integral:

int (2 ( u - 1 ))/(sqrt(u)) d u

int (2 u^((1)/(2)) - 2 u^((- 1)/(2))) d u

Agora basta resolver a integral! Vamo que vamo!

Passo 2

Calculando...

int (2 u^((1)/(2)) - 2 u^((- 1)/(2))) d u

(4)/(3) u^((3)/(2)) - 4 u^((1)/(2)) + C

Voltando a variável inicial x:

(4)/(3) (sqrt(x) + 1)^((3)/(2)) - 4 sqrt(1 + sqrt(x)) + C

Resposta

(4)/(3) (sqrt(x) + 1)^((3)/(2)) - 4 sqrt(1 + sqrt(x)) + C

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