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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 9b

9. Sejam alpha != 0 e beta constantes. Verifique que

b ) int (1)/(alpha^2 + (x + beta)^2) d x = (1)/(alpha) tan^(- 1) ((x + beta)/(alpha)) + k

Passo 1

Podemos perceber que essa integral se assemelha com a integral int (1)/(1 + x^2) d x = tan^(- 1) x + k . Vamos tentar arrumar a integral que nós temos para que as duas fiquem iguais. Para isso, primeiro vamos tentar transformar o a^2 em 1. Logo, vamos dividir o numerador e o denominador por a^2

int (1)/(a^2 + x^2) d x = int (((1)/(a^2)))/(((a^2 + (x + beta)^2)/(a^2))) d x = int ((1)/(a^2))/((a^2)/(a^2) + ((x + beta)^2)/(a^2)) d x = (1)/(a^2) int (1)/(1 + ((x + beta)/(a))^2) d x

Passo 2

Já está bem parecida. No entanto, para melhorar, vamos fazer u = (x + beta)/(a) = (x)/(alpha) + (beta)/(alpha) ⟹ d u = (d x)/(a) . Assim,

(1)/(a^2) int (1)/(1 + ((x + beta)/(a))^2) d x = (1)/(a) int (1)/(1 + ((x + beta)/(a))^2) (d x)/(a) = (1)/(a) int (1)/(1 + u^2) d u = (1)/(a) tan^(- 1) u + k

= (1)/(a) tan^(- 1) ((x + beta)/(a)) + k

Portanto, verificamos que

int (1)/(alpha^2 + (x + beta)^2) d x = (1)/(alpha) tan^(- 1) ((x + beta)/(alpha)) + k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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