Calcule a soma

  1. ∑ k = 9 36 k

  2. ∑ k = 3 17 k 2

∑ k = 18 71 k ( k - 1 )

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Inicialmente precisamos mudar os valores do limite do somatório, pois começamos a contar a partir de k = 3 , e para aplicarmos as nossas regras, o valor de k deve ser igual a 1. Portanto, façamos um número i = k - 2 . Quando k = 3 , i = 1 . Já quando k = 17 , i = 15 . Portanto, escrevemos:

∑ k = 3 17 k 2 = ∑ i = 1 15 i + 2 2 = ∑ i = 1 15 i 2 + 4 i + 4

∑ i = 1 15 i 2 + 4 i + 4 = ∑ i = 1 15 i 2 + ∑ i = 1 15 4 i + ∑ i = 1 15 4

Passo 3

Agora, utilizando a regra de multiplicação por uma constante para reduzir ao máximo os nossos somatórios, obtemos:

∑ i = 1 15 i + 2 2 = ∑ i = 1 15 i 2 + 4 ⋅ ∑ i = 1 15 i + ∑ i = 1 15 4

Passo 4

Vamos calcular inicialmente a soma de uma constante. Sendo assim, temos a seguinte regra do valor constante:

∑ k = 1 n c = c ⋅ n

Portanto, para n = 15 e c = 4 , temos:

∑ i = 1 15 4 = 4 ⋅ 15 = 60

Passo 5

Nos falta calcular a soma dos n primeiros números inteiros. Utilizamos então a seguinte relação:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2

Portanto, para n = 15 , temos:

∑ i = 1 15 i = 15 ( 15 + 1 ) 2 = 120

Passo 6

Já a soma dos primeiros n quadrados é dada pela seguinte relação:

∑ k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

Portanto, temos:

∑ i = 1 1 5 i 2 = 1 5 ( 1 5 + 1 ) ( 30 + 1 ) 6 = 1240

Passo 7

Agora, basta substituirmos os valores descobertos nos Passos 4, 5 e 6na relação descrita no Passo 3. Sendo assim, o somatório é igual a:

∑ i = 1 15 i + 2 2 = ∑ i = 1 15 i 2 + 4 ⋅ ∑ i = 1 15 i + ∑ i = 1 15 4

∑ i = 1 15 i + 2 2 = 1240 + 4 ⋅ 120 + 60 = 1780

Resposta

∑ k = 3 17 k 2 = 1780

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