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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 6

Calcule a área do conjunto dado.

  1. A = x , y ∈ R 2 | 1 ≤ x ≤ 2   e   0 ≤ y ≤ x - 1
  2. A = x , y ∈ R 2 0 ≤ x ≤ 2   e   0 ≤ y ≤ x 1 + x 2
  3. A é o conjunto do plano limitado pela reta x = 1 e pelos gráficos de y = e - 2 x e y = e - x , com x ≥ 0

Passo 1

  1. Vamos fazer o gráfico da região da integração:

    2. Temos então que a área do conjunto dado é a integral com os limites de integração 1 ≤ x ≤ 2 e integrando com a função de cima do gráfico menos a de baixo:

    ∫ 1 2 x - 1 - 0 d x = ∫ 1 2 x - 1 d x

    Passo 2

    Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

    u = x - 1

    Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

    d u = 1 - 0   d x → d u = d x

    E temos que os novos limites de integração vão ser:

    x = 1 → u = 1 - 1 = 0

    x = 2 → u = 2 - 1 = 1

    Vamos agora fazer a substituição:

    ∫ 1 2 x - 1 d x = ∫ 0 1 u d u = ∫ 0 1 u 1 2 d u

    Agora fica simples de resolver, vamos lá.

    Passo 3

    Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

    ∫ u 1 2 d u

    Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

    ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

    Agora é só aplicar:

    ∫ u 1 2 d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 = u 3 2 3 2 = 2 u 3 2 3 + C

    Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

    ∫ a b f x d x = F b - F a

    Ficamos então com:

    ∫ 0 1 u 1 2 d u = 2 u 3 2 3 0 1 = 2 ⋅ 1 3 2 3 - 2 ⋅ 0 3 2 3 = 2 ⋅ 1 3 - 2 ⋅ 0 3 = 2 3

    Passo 4

  2. Vamos fazer o gráfico da região da integração:

    3. Temos então que a área do conjunto dado é a integral com os limites de integração 0 ≤ x ≤ 2 e integrando com a função de cima do gráfico menos a de baixo:

    ∫ 0 2 x 1 + x 2 - 0 d x = ∫ 0 2 x 1 + x 2 d x

    Passo 5

    Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

    u = 1 + x 2

    Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

    d u = 0 + 2 x   d x → d u = 2 x d x → d u 2 = x d x

    E temos que os novos limites de integração vão ser:

    x = 0 → u = 1 + 0 2 = 1

    x = 2 → u = 1 + 2 2 = 5

    Vamos agora fazer a substituição:

    ∫ 0 2 x 1 + x 2 d x = ∫ 1 5 1 2 u d u

    Agora fica simples de resolver, vamos lá.

    Passo 6

    Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

    ∫ 1 2 u d u

    Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

    ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

    Agora é só aplicar:

    ∫ 1 2 u d u = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u + C

    Passo 7

    Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

    ∫ a b f x d x = F b - F a

    Ficamos então com:

    ∫ 1 5 1 2 u d u = 1 2 ln ⁡ u 1 5 = 1 2 ln ⁡ 5 - 1 2 ln ⁡ 1 = ln ⁡ 5 2 - 0 = ln ⁡ 5 2

    Passo 8

  3. Vamos fazer o gráfico da região da integração:

Temos então que a área do conjunto dado é a integral com os limites de integração 0 ≤ x ≤ 1 e integrando com a função de cima do gráfico menos a de baixo:

∫ 0 1 e - x - e - 2 x d x = ∫ 0 1 e - x d x + ∫ 0 1 - e - 2 x d x

Passo 2

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = - x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - 1   d x → d u = - d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 → u = - 0 = 0

x = 1 → u = - 1 = - 1

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 0 1 e - x d x = ∫ 0 - 1 - e u d u

Com a segunda vamos fazer:

u = - 2 x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - 2   d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 → u = - 2 ⋅ 0 = 0

x = 1 → u = - 2 ⋅ 1 = - 2

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 0 1 - e - 2 x d x = ∫ 0 - 2 - e u - 2 d u = ∫ 0 - 2 e u 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ - e u d u + ∫ e u 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ e x d x = e x + C

Agora é só aplicar:

∫ - e u d u + ∫ e u 2 d u = - ∫ e u d u + 1 2 ∫ e u d u = - e u + 1 2 e u + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 0 - 1 - e u d u + ∫ 0 - 2 e u 2 d u = - e u 0 - 1 + 1 2 e u 0 - 2 = - e - 1 - - e 0 + 1 2 e - 2 - 1 2 e 0 = - e - 1 - - 1 + 1 2 e - 2 - 1 2 = - e - 1 + 1 + e - 2 2 - 1 2 = - 2 e - 1 + 2 + e - 2 - 1 2 = - 2 e - 1 + 1 + e - 2 2

Resposta

  1. ∫ 1 2 x - 1 d x = 2 3
  2. ∫ 0 2 x 1 + x 2 d x = ln ⁡ 5 2
  3. ∫ 0 1 e - x - e - 2 x d x = - 2 e - 1 + 1 + e - 2 2
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