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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 4

Suponha f contínua em [0,4] . Calcule int_(- 2)^2 x f (x^2) d x .

Passo 1

Oi, pessoal! O enunciado tá pedindo para gente calcular uma integral definida, mas não disse para gente que é f . Confuso né?

Mas vamos com calma e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo na integral definida e ver o que vai dar.

Pelo Teorema temos,

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Então, primeiro vamos achar a nossa primitiva F (x) .

Bora lá!

Passo 2

Para resolver a nossa integral vamos fazer uma substituição simples!

Nossa integral é,

int_(- 2)^2 x f (x^2) d x

Fazendo

u = x^2

d u = 2 x d x -> (d u)/(2) = x d x

Substituindo ficamos com,

int (f (u))/(2) d u

Já que mudamos a variável de x para u , também vamos ter que mudar os limites de integração!

Passo 3

Os limites de integração eram - 2 e 2 e temos que u = x^2 .

Então, os novos limites de integração vão ser:

x = - 2 -> u = (- 2)^2 = 4

x = 2 -> u = 2^2 = 4

Passo 4

Vamos agora fazer a substituição:

int_(- 2)^2 x f (x^2) d x = int_4^4 (f (u))/(2) d u = (1)/(2) int_4^4 f (u) d u

Repara que os limites de integração são iguais, então a gente não precisa saber os limites de integração, pois pelo Teorema Fundamental do Cálculo

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Aplicando para a nossa integral, teríamos

(1)/(2) int_4^4 f (u) d u = (1)/(2) [F (4) - F (4)] = 0

Achamos então que:

int_(- 2)^2 x f (x^2) d x = (1)/(2) int_4^4 f (u) d u = 0

Resposta

int_(- 2)^2 x f (x^2) d x = 0

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