Nos Exercícios de 29 a 36, calcule a integral definida.

∫ 1 2 e x e x + e d x

Passo 1

Vamos começar usando a integração por substituição, onde o nosso u será:

u = e x + e

Encontrando o diferencial de u , teremos:

d u = e x d u

d u e x = d x

Vamos agora fazer a substituição do d x na nossa integral:

∫ x = 1 2 e x u d u e x = ∫ x = 1 2 1 u d u

Passo 2

Agora podemos resolver a integral:

∫ x = 1 2 1 u d u = [ ln ⁡ | u | ] x = 1 2

Como a integral é definida, não precisamos nos preocupar com o C.

Mas lembre-se de trazer de volta a variável x porque nossos limites ainda estão em x , ficará:

= [ ln ⁡ | e x + e | ] x = 1 2

Por último, basta fazer a subtração com os limites da integral:

= [ ( ln ⁡ e 2 + e ) - ( ln ⁡ | e 1 + e | ) ]

= ln ⁡ e 2 + e - ln ⁡ | 2 e |

Resposta

∫ 1 2 e x e x + e d x = ln ⁡ e 2 + e - ln ⁡ | 2 e |

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