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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.6 - Ex. 34

Encontre o volume do sólido obtido quando a região sob a curva y = arcsin ⁡ x x, x ≥ 0 , é girada em torno do eixo y.

Passo 1

Essa questão é bem simples e fácil, sabe porque? Só precisamos da fórmula do volume e nos atentar que a região é em torno do eixo y . Certo??

Para calcular o volume temos:

V = ∫ 0 1 2 π x arcsin ⁡ x d x

Agora vamos substituir nossas variáveis e calcular a integral!!

Passo 2

Calculando, temos

V = ∫ 0 1 2 π x arcsin ⁡ x d x

Sabendo a ∫ arcsin ⁡ x d x = arcsin ⁡ x × x + 1 - x 2 + C , então

V = ∫ 0 1 2 π x arcsin ⁡ x d x = 2 π 2   x 2 - 1 4 arcsin ⁡ x + x 1 - x 2 4 0 1

Agora é só substituirmos os intervalos

V = 2 π [ 2   1 2 - 1 4 arcsin ⁡ 1 + 1 1 - 1 2 4 - ( 2   ( 0 ) 2 - 1 4 arcsin ⁡ 0 + ( 0 ) 1 - ( 0 ) 2 4 ) ]

V = 2 π [ 1 4 ( π 2 ) + 0 - ( 0 + 0 ) ]

V = 2 π [ π 8 ]

V = 1 4 π 2

Prontinho!!

Resposta

V = 1 4 π 2

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