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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.6 - Ex. 33

A região sob a curva y = sin 2 ⁡ x de 0 a π é girada em torno do eixo x. Encontre o volume do sólido obtido.

Passo 1

Essa questão é bem simples e fácil, sabe porque? Só precisamos da fórmula do volume e nos atentar que a região é em torno do eixo x . Certo??

Para calcular o volume temos:

V = ∫ x 1 x 2 π y 2 d x

Agora vamos substituir nossas variáveis e calcular a integral!!

Passo 2

Calculando, temos

V = ∫ 0 π π sin 2 ⁡ x 2 d x

V = π ∫ 0 π sin 4 ⁡ x d x

Essa integral pode ser calculada pelo que chamamos de integral de potência:

∫ sin ⁡ x n d x = - 1 n × sin ⁡ x n - 1 cos ⁡ x + n - 1 n × ∫ sin  ⁡ x n - 2 d x

Assim, temos que

π ∫ 0 π sin 4 ⁡ x d x = - 1 4 × sin ⁡ x 3 cos ⁡ x 0 π + 3 4 × ∫ 0 π sin 2 ⁡ x d x

Usando sin ⁡ x 2 = 1 - cos ⁡ 2 x 2   :

π ∫ 0 π sin 4 ⁡ x d x = - 1 4 × sin ⁡ x 3 cos ⁡ x 0 π + 3 4 × ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x

π ∫ 0 π sin 4 ⁡ x d x = - 1 4 × sin ⁡ x 3 cos ⁡ x 0 π + 3 8 × x - sin ⁡ 2 x 2 0 π

∫ 0 π sin 4 ⁡ x d x = π × 3 8 π

∫ 0 π sin 4 ⁡ x d x = 3 8 π 2

Prontinho!!

Resposta

∫ 0 π sin 4 ⁡ x d x = 3 8 π 2

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