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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.6 - Ex. 16

Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral.

∫ e 3 t e 2 t - 1 d t

Passo 1

Pessoal, a integral deste exercício deve ser checada na Tabela de Integrais, nas Páginas de Referência. A partir delas conseguiremos resolver a integral dada. Vamos la:

∫ e 3 t e 2 t - 1 d t

Podemos procurar na Tabela de Integrais, mas não vamos achar nenhuma parecida com esta acima. Isto porque precisamos fazer uma substituição de variáveis. Vamos a ela:

u = e 2 t - 1

d u = 2 e 2 t d t

Ficamos então com:

∫ e 3 t e 2 t - 1 d t → ∫ e 3 t u   d u / 2 e 2 t   → ∫ e t 2 u d u

Onde e t = u + 1

∫ u + 1 2 u d u

Ainda não temos uma integral na Tabela que se encaixe. Devemos então fazer uma outra substituição de variável:

x 2 = u

2 x d x = d u

Ficamos então com:

∫ u + 1 2 u d u → ∫ x 2 + 1 2 x 2 x d x

∫ x 2 + 1   d x

Finalmente! Temos agora uma integral que se encaixa em uma das entradas da Tabela. Vamos comparar com a 21:

∫ x 2 + 1   d x → ∫ u 2 + a 2 d u

Onde a = 1 .

A resposta desta integral é:

∫ x 2 + 1   d x = x 2 1 + x 2 + 1 2 ln ⁡ ( x + 1 + x 2 + C

Voltando agora com o valor de u x 2 = u → x = u

= u 2 1 + u + 1 2 ln ⁡ u + 1 + u + C

Ainda não acabou! Temos que voltar com a variável t → u = e 2 t - 1

u 2 1 + u + 1 2 ln ⁡ u + 1 + u   = e 2 t - 1 2 1 + ( e 2 t - 1 ) + 1 2 ln ⁡ ( e 2 t - 1 + 1 + e 2 t - 1 + C

= 1 2 e 2 t e 2 t - 1 + 1 2 ln ⁡ e 2 t - 1 + e t + C

Que é a nossa resposta.

Resposta

= 1 2 e 2 t e 2 t - 1 + 1 2 ln ⁡ e 2 t - 1 + e t + C

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