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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 1

Calcule as integrais iteradas.

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ( x + 2 y ) d y d x

Passo 1

Faaaala turma, tudo bem!? Bora lá resolver mais uma!

Observe, que o enunciado no forneceu uma integral dupla com limites de integração e precisamos determinar o valor dessa integral.

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ( x + 2 y ) d y d x

Como fazemos isso? Vamos pensar juntos, beleza!?

Importante lembrar, que sempre começamos a integrar de dentro para fora. Como assim?

Observando a expressão, perceba que precisamos primeiro integrar em d y e aplicar os limites de integração, e depois integrar em d x   e novamente aplicar os limites de integração. Isso ocorre nessa ordem devido a integral estar d y   d x . Tem quer atenção nesse ponto.

Sabendo disso, vamos começar!? Partiu então!

Passo 2

Primeiro vamos integrar em d y , conforme mencionamos antes.

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 x + 2 y   d y d x

Integrando, temos:

∫ 0 1 x y + y 2 0 x 2   d x

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 1 x × x 2 + x 2 2 - x × 0 - 0 2   d x

= ∫ 0 1 x 3 + x 4   d x

Passo 3

Agora, é só resolver a integral em d x .

∫ 0 1 x 3 + x 4   d x

Integrando, vai ficar:

= x 4 4 + x 5 5 0 1

Aplicando os limites.

= 1 4 + 1 5 = 9 20

Logo, nossa resposta é:

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ( x + 2 y ) d y d x = 9 20

Resposta

9 20

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