Determine a diferencial da função.

z = x 3 ln ⁡ ( y 2 )

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de diferencial, vamos lá!

A questão nos dá a função

z = x 3 ln ⁡ ( y 2 )

E nos pede para encontrar o diferencial d z !

Mas como fazemos isso?

Para uma função do tipo z ( x , y ) , o diferencial pode ser descrito como

d z = z x x , y d x + z y ( x , y ) d y

Dessa forma, só precisamos encontrar as derivadas parciais z x e z y para modelar nossa expressão!

Passo 2

Calculando as derivadas parciais (lembrando que tornamos as variáveis que não estão envolvidas na derivação como constantes)

∂ z ∂ x = ln ⁡ ( y 2 ) ∂ x 3 ∂ x

z x x , y = 3 x 2 ln ⁡ ( y 2 )

∂ z ∂ y = x 3 ∂ ln ⁡ ( y 2 ) ∂ y

z y x , y = 2 x 3 y

Substituindo na fórmula, ficamos com

d z = 3 x 2 ln ⁡ ( y 2 ) d x + 2 x 3 y d y

Resposta

d z = 3 x 2 ln ⁡ ( y 2 ) d x + 2 x 3 y d y

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