Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 13

Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo I I . Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.

∬ D x d A ,     D   é   l i m i t a d a   p e l a s   r e t a s   y = x ,   y = 0 , x = 1

Passo 1

E aí, galera! Tudo numa boa?

A questão pede para expressarmos a região D :

D   é   l i m i t a d a   p e l a s   r e t a s   y = x ,   y = 0 , x = 1

Como uma região do tipo I e como uma região do tipo II. Recapitulando sobre as regiões:

As regiões planas das integrais duplas D são os domínios de integração sobre o qual a integral é calculada. Esta região é definida pelos limites de integração para as variáveis envolvidas.

  • Regiões do Tipo I: são regiões entre o gráfico de duas funções contínuas de x , limitados entre dois valores fixos de no eixo x , a e b .

    • D = { ( x , y ) | a ≤ x ≤ b ,   g 1 x ≤ y ≤ g 2 x }

    As duas funções devem ser contínuas e uma deve ser menor que a outra, ou seja, estar abaixo da outra no eixo y , assim a região fica confinada entre g 1 x e g 2 x .

  • Regiões do Tipo II: são regiões entre o gráfico de duas funções contínuas de y , limitados entre dois valores fixos de no eixo y , c e d .

D = { ( x , y ) | c ≤ y ≤ d ,   h 1 y ≤ x ≤ h 2 y }

As duas funções devem ser contínuas e uma deve ser menor que a outra, ou seja, estar antes da outra no eixo x , assim a região fica confinada entre h 1 y e h 2 y .

Por fim, vamos precisar calcular:

∬ D x d A

De dois jeitos, ou seja, considerando D como uma região do tipo I e novamente, considerando como uma região do tipo II.

Show! Bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos entender como é nossa região D , definida por:

y = x ,   y = 0 , x = 1

Como D é limitado pelas retas y = x , y = 0 e x = 1 , vamos plotar estas retas para ver como fica a região D :

Temos que a região D é a delimitada em vermelho.

Nosso objetivo é encontrar a integral dupla que define esta região.

Passo 3

Podemos definir esta região como do tipo I , quando:

D x , y 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ x

E já podemos resolver a integral para esse caso. Como nosso limite de integração de y tem um termo em função de x , vamos colocar a integral de y “por dentro”, assim ela vai ser resolvida primeiro e vai facilitar bastante nosso cálculo.

Temos então que:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ 0 x x d y = x y 0 x

∫ 0 x x d y = x 2

Logo:

∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x = ∫ 0 1 x 2 d x

Então:

∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 0 1

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3

Portanto:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x = 1 3

Passo 4

Agora vamos definir D como uma região do tipo I I . Temos:

D x , y 0 ≤ y ≤ 1 ,   y ≤ x ≤ 1

E já podemos resolver a integral para esse caso. Como nosso limite de integração de x tem um termo em função de y , vamos colocar a integral de x “por dentro”, assim ela vai ser resolvida primeiro e vai facilitar bastante nosso cálculo.

Temos então que:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ y 1 x d x = x 2 2 y 1

∫ y 1 x d x = 1 2 - y 2 2

Logo:

∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y = ∫ 0 1 1 2 - y 2 2 d y

Temos que:

∫ 0 1 1 2 - y 2 2 d y = ∫ 0 1 1 2 d y - ∫ 0 1 y 2 2 d y

Resolvendo, temos:

∫ 0 1 1 2 d y - ∫ 0 1 y 2 2 d y = 1 2 y 0 1 - y 3 6 0 1

∫ 0 1 1 2 d y - ∫ 0 1 y 2 2 d y = 1 2 - 1 6

∫ 0 1 1 2 d y - ∫ 0 1 y 2 2 d y = 2 6 = 1 3

Portanto:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y = 1 3

Resposta

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x = 1 3

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y = 1 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:
Calcule as integrais, para as regiões D indicadas.(d) int int_D y^(- 2) e^(x // sqrt(y)) d x d y ; D é o q u a d r a d o [0 , 1] xx [1 , 2] é
Calcule a integral dupla em D quando f (x , y) = x y .
Calcule as integrais, para as regiões D indicadas.(a) int int_D y^2 s e n (x^2) d x d y ; D l i m i t a d a p o r y = x^(1 // 3) , y = - x^(1 // 3) e x = 8
Calcule as integrais, para as regiões D indicadas.(c) int int_D (x + 2 y) d x d y ; D l i m i t a d a p o r y = x^(- 2) , y = 1 e y = 4