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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 7

Calcule a integral dupla.

∬ D y x 2 + 1 d A ,       D = x , y | 0 ≤ x ≤ 4 ,   0 ≤ y ≤ x  

Passo 1

Fala, pessoal! Como vocês estão?

A questão quer o valor da integral dupla:

∬ D y x 2 + 1 d A

Onde D é:

D = x , y | 0 ≤ x ≤ 4 ,   0 ≤ y ≤ x  

Para calcular integrais duplas usamos o Teorema de Fubini:

Se f for contínua no retângulo D = x , y | a ≤ x ≤ b ,   c ≤ y ≤ d   , então:

∬ D f x , y   d A = ∫ a b ∫ c d f x , y   d y   d x = ∫ c d ∫ a b f x , y   d x   d y

Nós podemos escolher qual variável vamos integrar primeiro. Essa escolha vai depender de qual ordem vai deixar nosso cálculo de integral mais simples.

Ou seja:

0 ≤ x ≤ 4

E:

  0 ≤ y ≤ x

São nossos intervalos de integração da integral dupla. Como o intervalo de integração para y tem termos dependentes de x , vamos colocar a integral de y como a integral “de dentro”.

∫ 0 4 ∫ 0 x y x 2 + 1 d y d x

Bora calcular nossa integral!

Passo 2

∬ D y x 2 + 1 d A = ∫ 0 4 ∫ 0 x y x 2 + 1 d y d x

Primeiro, vamos integrar a função com relação a y e considerar x como uma constante, já que é a função que está “por dentro”. Resolvendo a integral:

∫ 0 4 ∫ 0 x y x 2 + 1 d y d x = ∫ 0 4 1 x 2 + 1 ∫ 0 x y d y d x

Tirando a constante para fora:

∫ 0 x y d y = y 2 2 0 x

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 x y d y = 1 2 y 2 0 x

∫ 0 x y d y = 1 2 x 2 - 0 2

Como x 2 = x :

∫ 0 x y d y = x 2

Logo, vamos ter:

∫ 0 4 ∫ 0 x y x 2 + 1 d y d x = ∫ 0 4 1 x 2 + 1 x 2 d x

Tirando a constante para fora:

∫ 0 4 ∫ 0 x y x 2 + 1 d y d x = 1 2 ∫ 0 4 x x 2 + 1 d x

Passo 3

Agora vamos resolver a integral “de fora”.

1 2 ∫ 0 4 x x 2 + 1 d x

Como temos uma divisão de funções com relação a x , temos que aplicar algum método para resolver. Vamos tentar o método de substituição. Consideraremos

t = x 2 + 1

Logo, derivando a equação acima:

1 2 d t = x d x

Vamos testar se houve alteração nos limites de integração:

  • Quando x = 0 , então t = 0 2 + 1 = 1 .

  • Quando x = 4 , então t = 4 2 + 1 = 17 .

Podemos dizer então que:

1 2 ∫ 0 4 x x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 1 17 1 t ⋅ d t 2

Portanto:

1 4 ∫ 1 17 d t t = 1 4 ln ⁡ t 1 17

Aplicando os limites de integração para t :

1 4 ∫ 1 17 d t t = 1 4 ln ⁡ 17 - ln ⁡ 1

1 4 ∫ 1 17 d t t = 1 4 ln ⁡ 17 - 0

Simplificando:

1 4 ∫ 1 17 d t t = 1 4 ln ⁡ 17

Então, voltando às variáveis originais:

1 2 ∫ 0 4 x x 2 + 1 d x = 1 4 ∫ 1 17 d t t = 1 4 ln ⁡ 17

E, finalizando:

∫ 0 4 ∫ 0 x y x 2 + 1 d y d x = 1 4 ln ⁡ 17

Então:

∬ D y x 2 + 1 d A = 1 4 ln ⁡ 17

Resposta

∬ D y x 2 + 1 d A = 1 4 ln ⁡ 17

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Exercício de Livro
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