Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 10
Calcule a integral dupla.
Passo 1
Fala, galera boa! Tudo certo?
A questão quer o valor da integral dupla:
Onde é:
Para calcular integrais duplas usamos o Teorema de Fubini:
Se for contínua no retângulo , então:
Para resolver integrais duplas a gente começa “de dentro pra fora”, realizando primeiro a integral que está pra dentro, e depois esse resultado será o integrando da integral de fora.
Nós podemos escolher qual variável vamos integrar primeiro. Essa escolha vai depender de qual ordem vai deixar nosso cálculo de integral mais simples.
Para os limites de integração da nossa série, o enunciado nos dá:
E:
Como o intervalo de integração para tem termos dependentes de , vamos colocar a integral de como a integral “de dentro”, já que isso simplifica nosso cálculo. Então, teremos:
Show? Então vamo lá!
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função com relação a e considerar como uma constante, já que a integral em relação a é a que está por dentro e sempre começamos nosso cálculo de dentro para fora.
Vamos resolver primeiro a integral de dentro:
Passo 3
Como temos uma multiplicação de funções com relação a , temos que aplicar algum método para resolver. Vamos tentar o método da substituição. Consideraremos:
Elevando toda a equação ao quadrado para eliminar a radiciação:
Logo, derivando a equação acima em relação a :
Agora temos que rearranjar a integral de forma que nos ajude a substituir.
Agora é só resolver:
Agora, vamos voltar resubstituir. Isso se faz necessário para que não ocorra uma indeterminação:
Tirando a constante para fora e aplicando os limites de integração:
Como , teremos:
Logo:
Passo 4
Agora é só resolver a integral “de fora” em função de :
Tirando as constantes para fora dos colchetes:
Aplicando os limites de integração:
Como :
Logo:
E: