Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 3d

Calcule as integrais, para as regiões D indicadas.

(d) int int_D y^(- 2) e^(x // sqrt(y)) d x d y ; D é o q u a d r a d o [0 , 1] xx [1 , 2]

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Como no nosso caso temos ambas as variáveis x e y limitadas por duas constantes, podemos realizar as integrais diretamente pois a região é contínua nas duas variáveis. Por conveniência, vamos manter a ordem de integração.

Passo 2

Então, sabemos que os intervalos serão dados por:

0 <= x <= 1

E:

1 <= y <= 2

Dessa forma, podemos escrever:

int_1^2 int_0^1 y^(- 2) e^(x // sqrt(y)) d x d y = int_1^2 y^(- 2) int_0^1 e^(x // sqrt(y)) d x d y

Então, resolvendo a integral interna pelo método da substituição simples usando u = x // sqrt(y) , tal que d u = d x // sqrt(y) , teremos:

Quando x = 0 -> u = 0

Quando x = 1 -> u = 1 // sqrt(y)

Logo:

int_0^1 e^(x // sqrt(y)) d x = int_0^(1 // sqrt(y)) e^u (sqrt(y) d u)

Que resulta em:

=> sqrt(y) [e^u] | [[(1)/(sqrt(y))],[0]]

Substituindo o intervalo de integração da integral resolvida:

=> sqrt(y) [e^(1 // sqrt(y)) - e^0] = sqrt(y) (e^((1)/(sqrt(y))) - 1)

Passo 3

Dessa forma, podemos escrever:

int_1^2 y^(- 2) int_0^1 e^(x // sqrt(y)) d x d y = int_1^2 y^(- 2) [sqrt(y) (e^((1)/(sqrt(y))) - 1)] d y

Ou ainda:

=> int_1^2 y^(- 3 // 2) e^(y^(- 1 // 2)) d y - int_1^2 y^(- 3 // 2) d y

A segunda integral pode ser resolvida diretamente, mas a primeira precisa de algum método de resolução. Então, usando a substituição simples com v = y^(- 1 // 2) , tal que d v = - (y^(- 3 // 2) // 2) d y , temos:

Quando y = 1 -> v = 1

Quando y = 2 -> v = (1)/(sqrt(2)) = (sqrt(2))/(2)

Então:

int_1^2 y^(- 3 // 2) e^(y^(- 1 // 2)) d y = int_1^(sqrt(2) // 2) e^v (- 2 d v)

=> - 2 int_1^((sqrt(2))/(2)) e^v d v = - 2 [e^v] | [[(sqrt(2))/(2)],[1]]

Substituindo o intervalo de integração da integral resolvida:

=> - 2 [e^(sqrt(2) // 2) - e] = 2 [e - e^(sqrt(2) // 2)]

Passo 4

Portanto, resolvendo a outra integral, teremos:

int_1^2 y^(- 3 // 2) d y = - 2 y^(- (1)/(2)) | [[2],[1]]

Substituindo o intervalo de integração:

=> - 2 ((1)/(sqrt(2)) - (1)/(sqrt(1))) = 2 (1 - (sqrt(2))/(2))

Logo, o resultado final da integral será dado por:

int_1^2 int_0^1 y^(- 2) e^(x // sqrt(y)) d x d y = 2 [e - e^(sqrt(2) // 2)] - 2 (1 - (sqrt(2))/(2))

Ou seja:

=> 2 (e - e^((sqrt(2))/(2)) + (sqrt(2))/(2) - 1)

Resposta

2 (e - e^((sqrt(2))/(2)) + (sqrt(2))/(2) - 1)

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