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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 6

Seja B o conjunto (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) <= 1 , a > 0 e b > 0 . Verifique que:

∬_B f (x , y) d x d y = a b int_0^(2 pi) [int_0^1 rho f (a rho cos theta , b rho s e n theta) d rho] d theta

Passo 1

Bom, o conjunto (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) <= 1 representa toda a parte interior de uma elipse. Veja que no caso particular em que:

(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1

Temos uma parametrização da forma:

{[[x = a cos theta],[y = b s e n theta]])

Com a e b constantes e 0 <= theta <= 2 pi .

Passo 2

Beleza, só que o nosso conjunto não é somente essa parte da elipse (aí é como se fosse a linha dela só). O conjunto é: (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) <= 1

O que isso quer dizer? É como tivesse um raio variando de 0 a 1 nessa elipse. Na parametrização é exatamente isso:

{[[x = a rho cos theta],[y = b rho s e n theta]]) , 0 <= rho <= 1 ; 0 <= theta <= 2 pi

Beleza, calculando o jacobiano agora:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = det [[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]]

= det [[[a,cos theta,-,a,rho,s,e,n,,theta],[b,,s,e,n,,theta,b,rho,cos theta]]]

= (a cos theta) (b rho cos theta) - (- a rho s e n theta) (b s e n theta)

= a b rho cos^2 theta + a b rho s e n^2 theta

= a b rho ( cos^2 theta + s e n^2 theta )

= a b rho

Passo 3

Show! Agora é só montar a integral da função:

int_0^(2 pi) int_0^1 f ( a rho cos theta , b rho s e n theta ) a b rho d rho theta

Tirando as constantes, e reorganizando:

a b int_0^(2 pi) [ int_0^1 rho f ( a rho cos theta , b rho s e n theta ) d rho ] d theta

Que é exatamente o que a função pediu pra mostrar😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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