Seja B o conjunto (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) <= 1 , a > 0 e b > 0 . Verifique que:

∬ B f x , y d x d y = a b ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ   f a ρ cos ⁡ θ , b   ρ s e n   θ d ρ d θ

Passo 1

Bom, o conjunto x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 representa toda a parte interior de uma elipse. Veja que no caso particular em que:

  x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Temos uma parametrização da forma:

x = a cos ⁡ θ y = b   s e n   θ

Com a   e   b   constantes e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 2

Beleza, só que o nosso conjunto não é somente essa parte da elipse (aí é como se fosse a linha dela só). O conjunto é:   x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1

O que isso quer dizer? É como tivesse um raio variando de 0   a   1 nessa elipse. Na parametrização é exatamente isso:

x = a ρ cos ⁡ θ y = b ρ   s e n   θ ,     0 ≤ ρ ≤ 1 ;     0 ≤ θ ≤ 2 π

Beleza, calculando o jacobiano agora:

∂ x , y ∂ ρ ,   θ = det ⁡ ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ

= det ⁡ a cos ⁡ θ - a ρ s e n   θ b   s e n   θ b ρ cos ⁡ θ

= a cos ⁡ θ b ρ cos ⁡ θ - - a ρ s e n   θ b   s e n   θ

= a b ρ cos 2 ⁡ θ + a b   ρ s e n 2 θ

= a b ρ ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ )

=   a b   ρ

Passo 3

Show! Agora é só montar a integral da função:

∫ 0 2 π ∫ 0 1   f ( a ρ cos ⁡ θ ,   b ρ   s e n   θ )   a b   ρ   d ρ θ

Tirando as constantes, e reorganizando:

a b ∫ 0 2 π [ ∫ 0 1 ρ   f ( a ρ cos ⁡ θ ,   b ρ   s e n   θ )   d ρ ]   d θ

Que é exatamente o que a função pediu pra mostrar😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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