Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 10
Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal ao hiperbolóide de equação no ponto .
Passo 1
E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D
A derivada parcial possui várias aplicações, assim como a derivada simples. Nesse exercício iremos usá-la para encontrarmos a equação do plano tangente e a equação da reta normal. Mas antes precisamos verificar algumas condições: tendo uma superfície de equação e um ponto , a equação dessa superfície deve corresponder a uma função de classe (isto é, todas as suas derivadas parciais de primeira ordem existem e são contínuas) e o gradiente:
Não pode ser nulo.
Então, vamos calcular o gradiente da função. Logo, as derivadas parciais serão dadas por:
E, substituindo as coordenadas do ponto:
Assim, podemos definir que o plano tangente a no ponto tem a forma:
E a reta normal é dada por:
Passo 2
Retornando a fórmula em que chegamos para o plano tangente, temos:
Dessa forma, fazendo o produto escalar teremos:
Assim:
Que pode ser reescrita como:
Podemos dividir tudo por para conseguirmos o plano tangente:
Passo 3
Agora, usando a fórmula da equação da reta normal, temos:
Ou seja:
E juntando o componente de cada vetor:
Resposta
Plano tangente:
Reta normal: