Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal ao hiperbolóide de equação x 2 - 2 y 2 - 4 z 2 = 10 no ponto 4 ,   - 1 ,   1 .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

A derivada parcial possui várias aplicações, assim como a derivada simples. Nesse exercício iremos usá-la para encontrarmos a equação do plano tangente e a equação da reta normal. Mas antes precisamos verificar algumas condições: tendo uma superfície S de equação f x ,   y ,   z = k e um ponto P 0 = x 0 ,   y 0 ,   z 0 , a equação dessa superfície deve corresponder a uma função de classe C 1 (isto é, todas as suas derivadas parciais de primeira ordem existem e são contínuas) e o gradiente:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

Não pode ser nulo.

Então, vamos calcular o gradiente da função. Logo, as derivadas parciais serão dadas por:

∇ f x ,   y ,   z = 2 x ,   - 4 y ,   - 8 z

E, substituindo as coordenadas do ponto:

∇ f x 0 ,   y 0 ,   z 0 = ∇ f 4 ,   - 1 ,   1 = 8 ,   4 ,   - 8

Assim, podemos definir que o plano tangente a S no ponto P 0 tem a forma:

∇ f x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∙ x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 = 0

⇒ 8 ,   4 ,   - 8 ∙ x - 4 ,   y - - 1 ,   z - 1 = 0

E a reta normal é dada por:

x ,   y ,   z = x 0 ,   y 0 ,   z 0 + t ∇ f P 0 ,   t ∈ R

Passo 2

Retornando a fórmula em que chegamos para o plano tangente, temos:

8 ,   4 ,   - 8 ∙ x - 4 ,   y + 1 ,   z - 1 = 0

Dessa forma, fazendo o produto escalar teremos:

8 x - 4 + 4 y + 1 + - 8 z - 1 = 0

Assim:

8 x + 4 y - 8 z - 32 + 4 + 8 = 0

Que pode ser reescrita como:

8 x + 4 y - 8 z = 20

Podemos dividir tudo por 4 para conseguirmos o plano tangente:

2 x + y - 2 z = 5

Passo 3

Agora, usando a fórmula da equação da reta normal, temos:

x ,   y ,   z = 4 ,   - 1 ,   1 + t 8 ,   4 ,   - 8

Ou seja:

x ,   y ,   z = 4 ,   - 1 ,   1 + 8 t ,   4 t ,   - 8 t

E juntando o componente de cada vetor:

x ,   y ,   z = 4 + 8 t ,   - 1 + 4 t ,   1 - 8 t

Resposta

Plano tangente: 2 x + y - 2 z = 5

Reta normal: x ,   y ,   z = 4 + 8 t ,   - 1 + 4 t ,   1 - 8 t

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