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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 20

Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.

∫ t d t t 4 - t 2 - 2

Passo 1

Nesse exercício poderíamos sair fazendo frações parciais direto, mas tem uma substituição que pode simplificar a nossa vida que é a seguinte

u = t 2

De forma que

d u = 2 t d t → t d t = d u 2

Então a nossa integral ficará o seguinte:

∫ t d t t 4 - t 2 - 2 = ∫ d u / 2 u 2 - u - 2 = 1 2 ∫ d u u 2 - u - 2

Que parece mais tranquila de fazer, não é mesmo?

Passo 2

Agora vamos usar frações parciais de fato. Pra isso precisamos fatorar o denominador. Para achar as raízes é só fazer

u 2 - u - 2 = 0

u = 1 ± 1 2 - 4 - 2 2 = 1 ± 9 2 = 1 ± 3 2 = 2   o u - 1

Assim

u 2 - u - 2 = ( u - 2 ) ( u + 1 )

Então a expressão da nossa integral vai ser

1 u 2 - u - 2 = 1 ( u - 2 ) ( u + 1 ) = A u - 2 + B u + 1

Trabalhando o lado direito da igualdade

1 ( u - 2 ) ( u + 1 ) = A u - 2 + B u + 1 = A u + 1 + B u - 2 ( u - 2 ) ( u + 1 )

1 ( u - 2 ) ( u + 1 ) = u A + B + A - 2 B ( u - 2 ) ( u + 1 )

Comparando os dois lados, temos as seguintes equações

A + B = 0

A - 2 B = 1

Subtraindo a segunda da primeira, ficamos com

3 B = - 1 → B = - 1 3

Substituindo na primeira ficamos com

A = 1 3

Assim

1 ( u - 2 ) ( u + 1 ) = 1 3 1 u - 2 - 1 3 1 u + 1

Passo 3

Agora podemos integrar

1 2 ∫ d u u 2 - u - 2 = 1 6 ∫ d u u - 2 - ∫ d u u + 1 = 1 6 ln ⁡ u - 2 - ln ⁡ u + 1

Agora voltando para a variável original u = t 2

∫ t d t t 4 - t 2 - 2 = 1 6 ln ⁡ t 2 - 2 - ln ⁡ t 2 + 1

E lembrando que temos que adicionar a constante C no final!

∫ t d t t 4 - t 2 - 2 = 1 6 ln ⁡ t 2 - 2 - ln ⁡ t 2 + 1 + C

Resposta

∫ t d t t 4 - t 2 - 2 = 1 6 ln ⁡ t 2 - 2 - ln ⁡ t 2 + 1 + C

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Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine o valor numérico dos coeficientes. a )x 4 x 4 - 1 b )t 4 + t 2 + 1 ( t 2 + 1 ) ( t 2 + 4 ) 2 Letra a)
Avalie a integral. ∫ x x - 6 d x
Avalie a integral. ∫ r 2 r + 4 d r
Avalie a integral. ∫ 0 1 2 x + 3 ( x + 1 ) 2 d x
Avalie a integral. ∫ x 2 - x + 6 x 3 + 3 x d x