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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 55 a

underset(x -> 0^+)(lim) ( (x^2)/(2) - (1)/(x) )

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, x > 0 .

Como temos uma subtração de divisões, vamos deixar todo mundo com o mesmo denominador, ou seja, fazer o mmc, talquei?!

underset(x -> 0^+)(lim) ( (x^2)/(2) - (1)/(x) ) = underset(x -> 0^+)(lim) ( (x^3 - 2)/(2 x) )

Passo 2

Vamos para as contas!

Perceba que se aplicarmos o limite e usarmos o limite do quociente é o quociente dos limites,

underset(x -> 0^+)(lim) ( (x^3 - 2)/(2 x) ) = (underset(x -> 0^+)(l i m) ( x^3 - 2 ))/(underset(x -> 0^+)(l i m) 2 x)

Passo 3

Usando que o limite da subtração é a subtração dos limites, temos

(underset(x -> 0^+)(l i m) ( x^3 - 2 ))/(underset(x -> 0^+)(l i m) 2 x) = (underset(x -> 0^+)(l i m) x^3 - underset(x -> 0^+)(l i m) 2)/(underset(x -> 0^+)(l i m) 2 x)

Passo 4

Se fuçarmos a memória, vamos lembrar que underset(x -> 0^+)(l i m) 2 = 2 , porque não dependem de x.

Substituindo essa bagaça,

(underset(x -> 0^+)(l i m) ( x^3 - 2 ))/(underset(x -> 0^+)(l i m) 2 x) = (underset(x -> 0^+)(l i m) x^3 - underset(x -> 0^+)(l i m) 2)/(underset(x -> 0^+)(l i m) 2 x) = (0 - 2)/(underset(x -> 0^+)(l i m) 2 x)

Perceba que o denominador se anula quando aplicamos o limite, ou seja, nosso limite tende à oo .

Vamos analisar se o limite tende para o infinito positivamente ou negativamente, certo?

Passo 5

Como se aproxima de 0 pela direita, ou seja, x > 0 , o numerador assume valores positivos, já no denominador ficaríamos com 2 > 0 multiplicado por um número negativo. Ou seja,

(p o s i t i v o)/(p o s i t i v o * n e g a t i v o) = (p o s i t i v o)/(n e g a t i v o) = n e g a t i v o

Logo,

underset(x -> 0^+)(lim) (x^2)/(2) - (1)/(x) = underset(x -> 0^+)(lim) ((x^3 - 2)/(2 x)) = - oo

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) (x^2)/(2) - (1)/(x) = - oo

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Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 1 ⁡ f x
Seja g x =| x - 3 | x - 3 , x ≠ 3 0 , x = 3 Esboce o gráfico de g ( x ) .Achar, se existirem lim x → 3 + ⁡ g x , lim x → 3 - ⁡ g xe lim x → 3 ⁡ g ( x ) .
Esboçar o gráfico das seguintes funções e dar uma estimativa dos limites indicadosa) f x = x 2 - 9 x - 3 ;lim x → 3 ⁡ f x
Esboçar o gráfico das seguintes funções e dar uma estimativa dos limites indicadosd) f x = x - 1 x 3 - 1 ;lim x → 1 ⁡ f x
Calcule o limite. lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x 2 - 1