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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 24

Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.

Passo 1

Perceba que não vamos precisar utilizar nenhuma substituição.

Então, podemos aplicar as frações parciais para resolver a integral. Como o grau do polinômio do denominador é menor que o do numerador, que tem grau zero, primeiro, vamos realizar uma divisão de polinômios,

Ou seja,

2 x 3 + x 2 - 21 x + 24 ÷     x 2 + 2 - 8 =     ( 2 x + 3 )     x 2 + 2 - 8 +     x

Substituindo,

∫ 2 x 3 + x 2 - 21 x + 24 x 2 + 2 - 8 d x = ∫ 2 x + 3   x 2 + 2 - 8 +     x x 2 + 2 - 8 d x

= ∫ [ (   2 x + 3 ) + x x 2 + 2 x - 8   ] d x = ∫   ( 2 x + 3 )   d x +       ∫   x x 2 + 2 x - 8     d x

Passo 2

Resolvendo as integrais

  • ∫   2 x + 3 d x =   x 2 + 3 x  
  • ∫   x x 2 + 2 x - 8     d x

Para resolver esta integral, precisaremos usar frações parciais, já que temos uma divisão de polinômios, na qual o numerador tem grau menor que o denominador. Então, primeiro, vamos decompor o denominador da fração.

x 2 + 2 x - 8 = ( x - 1   ) ( x + 4 )

Então,

x x 2 + 2 x - 8   = x ( x - 1   ) ( x + 4 )   = A x - 1   + B x + 4

Calculando o mmc, ficamos com

x ( x - 1   ) ( x + 4 ) =     A   x + 4   + B ( x - 1   )   ( x - 1   ) ( x + 4 )    

Como os denominadores são iguais,

A   x + 4   + B ( x - 1   )   = x  

Juntando os coeficientes de mesmo grau,

x A + B + 4 A - B =   x

Igualando os coeficientes do polinômio, temos que

A + B = 1   4 A - B = 2

Resolvendo o sistema, temos que

A = 3 5   e B = 2 5

Sendo assim,

∫   x x 2 + 2 x - 8     d x = 3 5 ∫   1 x - 1   d x + 2 5 ∫   1   x + 4   d x = 3 5 ln ⁡ x - 1 + 2 5 ln ⁡ x + 4

Passo 3

Substituindo na primeira integral,

∫ 2 x 3 + x 2 - 21 x + 24 x 2 + 2 - 8 d x = ∫ 2 x + 3 d x +     ∫   x x 2 + 2 x - 8     d x =   x 2 + 3 x + 3 5 ln ⁡ x - 1 + 2 5 ln ⁡ x + 4

Resposta

∫ 2 x 3 + x 2 - 21 x + 24 x 2 + 2 - 8 d x =   x 2 + 3 x + 3 5 ln ⁡ x - 1 + 2 5 ln ⁡ x + 4  

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