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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 59

Use a substituição do exercício 55 para transformar o integrando em uma função racional de t e então avalie a integral.

∫ 1 2 sen ⁡ x + sen ⁡ 2 x d x

Subtituição do exercício 55: t = tan ⁡ x 2 .

Passo 1

Vamos começar reescrevendo a integral usando sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x :

∫ 1 2 sen ⁡ x + sen ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ 1 sen ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x d x

E agora vamos usar a substituição que o enunciado sugeriu:

tan ⁡ x / 2 = t

E a partir daí podemos encontrar expressões para sen ⁡ ( x ) e cos ⁡ ( x ) . Como essa substituição é muito comum, o resultado é bem conhecido, e mencionado no livro:

sen ⁡ ( x ) = 2 t 1 + t 2

cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2

E para substituirmos d x , temos:

t = tan ⁡ x 2

d t d x = d d x sen ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 = sen 2 ⁡ x 2 + cos 2 ⁡ x 2 2 cos 2 ⁡ x 2

d t = 1 + t 2 2   d x

Passo 2

Agora vamos substituir tudo isso na integral:

I = 1 2 ∫ 1 sen ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x d x

I = 1 2 ∫ 2 / ( 1 + t 2 )   2 t 1 + t 2 + 2 t 1 + t 2 1 - t 2 1 + t 2 d t

Vamos multiplicar e dividir por 1 + t 2 2 :

I = 1 2 ∫ 1 + t 2 t 1 + t 2 + t 1 - t 2 d t

I = 1 2 ∫ 1 + t 2 t + t 3 + t - t 3 d t = 1 2 ∫ 1 + t 2 2 t d t

I = 1 4 ∫ 1 t + t d t

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral:

I = 1 4 ∫ 1 t + t d t

I = 1 4 ln ⁡ t + 1 2 t 2 + C

Agora temos que “desfazer” nossa substituição:

t = tan ⁡ x 2

Então:

I = 1 4 ln ⁡ tan ⁡ x 2 + 1 2 tan ⁡ x 2 2 + C

I = 1 4 ln ⁡ tan ⁡ x 2 + 1 8 tan 2 ⁡ x 2 + C

Resposta

O resultado da integral é 1 4 ln ⁡ tan ⁡ x 2 + 1 8 tan 2 ⁡ x 2 + C .

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