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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 60

Encontre a área da região sob a curva de a até b :

y = (1)/(x^2 - 6 x + 8) , a = 5 , b = 10

Passo 1

Para encontrar essa área, precisamo calcular a seguinte integral:

I = int_5^(10) (1)/(x^2 - 6 x + 8) d x

Vamos reescrever o termo no denominador:

x^2 - 6 x + 8 = (x - 3)^2 - 1

I = int_5^(10) (1)/((x - 3)^2 - 1) d x

E então vamos fazer uma substituição:

u = x - 3 => d u = d x

I = int_2^7 (1)/(u^2 - 1) d u = int_2^7 (1)/((u - 1) (u + 1)) d u

Passo 2

Agora vamos decompor essa integral em frações parciais:

(1)/((u - 1) (u + 1)) = (A)/(u - 1) + (B)/(u + 1)

Multiplicando os dois lados por (u - 1) (u + 1) :

1 = A (u + 1) + B (u - 1)

1 = (A + B) u + (A - B)

Ou seja:

{[[A + B = 0],[A - B = 1]])

Então A = 1 // 2 e B = - 1 // 2 .

Passo 3

Então nossa integral fica da seguinte forma:

I = int_2^7 (1)/(u^2 - 1) d u = (1)/(2) int_2^7 (1)/(u - 1) - (1)/(u + 1) d u

I = [(1)/(2) (ln |u - 1| - ln |u + 1|)] (7)/(2)

I = (1)/(2) (ln (|u - 1|)/(|u + 1|)) (7)/(2)

I = (1)/(2) (ln |(6)/(8)|) - (1)/(2) (ln |(1)/(3)|)

I = (1)/(2) ln (9)/(4) = ln (3)/(2)

Resposta

A área da região sobre a curva vale ln ( 3 // 2 ) unidades de área.

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