Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.11 - Ex. 4f

Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.

∫ ∫ ∫ W d x d y d z x 2 + y 2 + z 2

Onde W é o sólido definido por:

W = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 y ,   z ≤ x 2 + y 2 ,   y ≥ x   e   x ≥ 0

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Para calcularmos a integral tripla, o primeiro passo é determinar o domínio das variáveis para saber os limites de integração. No entanto, não é simplesmente determinar esses valores.

Se fizermos o esboço do sólido (mostrado a seguir) conseguimos ver que ela representa a interseção entre um cone e uma esfera, além dos planos definidos por y = x e x = 0 :

Como estamos envolvendo superfícies esféricas, no item i i ) da seção 5.10.1 (livro DIOMARA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - 1 ª ED.) temos que a substituição das variáveis x ,   y ,   z serão dadas por:

x = ρ s e n φ cos ⁡ θ

y = ρ s e n φ s e n θ

E:

z = ρ cos ⁡ φ

E a nossa integral será dada por:

∫ ∫ ∫ Q 1 ρ s e n φ cos ⁡ θ 2 + ρ s e n φ s e n θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 ∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ d ρ d θ d φ

Onde:

Q = ρ ,   θ ,   φ ∈ R 3   |   ρ ≥ 0 ,     θ 0 ≤ θ ≤ θ 0 + 2 π ,     0 ≤ φ ≤ π

Seguindo o esquema das coordenadas esféricas para um ponto:

Temos que para a equação y = x :

ρ s e n φ cos ⁡ θ = ρ s e n φ s e n θ → cos ⁡ θ = s e n θ

Isso nos dá:

t g θ = 1 ∴ θ = π 4

Ainda, com a equação do outro plano x = 0 :

ρ s e n φ cos ⁡ θ = 0 → cos ⁡ θ = 0

Isso nos dá:

θ = π 2

Portanto:

π 4 ≤ θ ≤ π 2

E:

π 4 ≤ φ ≤ π

Ainda, precisamos determinar o módulo do Jacobiano. Então:

∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ = s e n φ cos ⁡ θ - ρ s e n φ s e n θ ρ cos ⁡ φ cos ⁡ θ s e n φ s e n θ ρ s e n φ cos ⁡ θ ρ cos ⁡ φ s e n θ cos ⁡ φ 0 - ρ s e n φ

Isso resulta em:

∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ = - ρ 2 s e n 3 φ cos 2 ⁡ θ - ρ 2 s e n φ cos 2 ⁡ φ s e n 2 θ

- ρ 2 s e n φ cos 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ - ρ 2 s e n 3 φ s e n 2 θ

Juntando os termos semelhantes, podemos escrever:

⇒ - ρ 2 s e n 3 φ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ - ρ 2 s e n φ cos 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

Usando a identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ u + s e n 2 u = 1

Teremos:

∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ = - ρ 2 s e n 3 φ - ρ 2 s e n φ cos 2 ⁡ φ

Ou ainda:

∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ = - ρ 2 s e n φ s e n 2 φ + cos 2 ⁡ φ = - ρ 2 s e n φ

Portanto, o módulo do jacobiano é:

∂ x ,   y ,   z ∂ ρ ,   θ ,   φ = - ρ 2 s e n φ = ρ 2 s e n φ

Dessa forma:

⇒ ∫ ∫ ∫ Q 1 ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 φ s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ ρ 2 s e n φ d ρ d θ d φ

Que fazendo o mesmo processo de juntar os termos semelhantes do denominador:

⇒ ∫ ∫ ∫ Q 1 ρ 2 s e n 2 φ ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ )   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ ρ 2 s e n φ d ρ d θ d φ

Podemos usar a mesma identidade trigonométrica de antes:

⇒ ∫ ∫ ∫ Q 1 ρ 2 s e n 2 φ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ ρ 2 s e n φ d ρ d θ d φ

Fazendo isso novamente:

⇒ ∫ ∫ ∫ Q 1 ρ 2 s e n 2 φ + cos 2 ⁡ φ ρ 2 s e n φ d ρ d θ d φ

Ou ainda:

⇒ ∫ ∫ ∫ Q 1 ρ 2 ρ 2 s e n φ d ρ d θ d φ

Isso nos dá:

∫ ∫ ∫ W d x d y d z x 2 + y 2 + z 2 = ∫ ∫ ∫ Q s e n φ d ρ d θ d φ

Passo 2

Agora, precisamos determinar os valores que serão os intervalos de cada variável. Para isso, vamos fazer as substituições na equação da esfera. Então:

x 2 + y 2 + z 2 = 2 y

Isso resulta em:

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 φ s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ s e n φ s e n θ

Juntando os termos semelhantes:

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ s e n φ s e n θ

E lembrando (mais uma vez) da identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ u + s e n 2 u = 1

Podemos reescrever:

ρ 2 s e n 2 φ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ s e n φ s e n θ

Tal que:

⇒ ρ 2 s e n 2 φ + cos 2 ⁡ φ = 2 ρ s e n φ s e n θ

∴ ρ 2 = 2 ρ s e n φ s e n θ → ρ = 2 s e n φ s e n θ

Logo:

0 ≤ ρ ≤ 2 s e n φ s e n θ

Passo 3

Com todos esses resultados obtidos, podemos reescrever a integral tripla como:

∫ ∫ ∫ Q s e n φ d ρ d θ d φ = ∫ π 4 π ∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 s e n φ s e n θ s e n φ d ρ d θ d φ

Ou ainda:

⇒ ∫ π 4 π s e n φ ∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 s e n φ s e n θ d ρ d θ d φ

Então, resolvendo a primeira integral:

= ∫ π 4 π s e n φ ∫ π 4 π 2 ρ | 2 s e n φ s e n θ 0 d θ d φ

E substituindo o intervalo de integração:

⇒ ∫ π 4 π s e n φ ∫ π 4 π 2 2 s e n φ s e n θ - 0 d θ d φ

= 2 ∫ π 4 π s e n 2 φ ∫ π 4 π 2 s e n θ d θ d φ

Passo 4

A segunda integral pode ser resolvida diretamente, tal que:

2 ∫ π 4 π s e n 2 φ ∫ π 4 π 2 s e n θ d θ d φ = 2 ∫ π 4 π s e n 2 φ - cos ⁡ θ | π 2 π 4 d φ

Substituindo os limites de integração:

⇒ 2 ∫ π 4 π s e n 2 φ - cos ⁡ π 2 - cos ⁡ π 4 d φ

Teremos:

2 ∫ π 4 π s e n 2 φ - cos ⁡ π 2 - cos ⁡ π 4 d φ = 2 ∫ π 4 π s e n 2 φ 2 2 d φ

⇒ 2 ∫ π 4 π s e n 2 φ d φ

Passo 5

Por fim, podemos aplicar a identidade trigonométrica:

s e n 2 u = 1 - cos ⁡ 2 u 2

Para resolver a integral. Dessa forma, ela será escrita como:

2 ∫ π 4 π s e n 2 φ d φ = 2 ∫ π 4 π 1 - cos ⁡ 2 φ 2 d φ

Isso pode ser reescrito como:

2 2 ∫ π 4 π 1 - cos ⁡ 2 φ d φ

Logo:

2 2 ∫ π 4 π 1 - cos ⁡ 2 φ d φ = 2 2 φ - s e n 2 φ 2 | π π 4

E substituindo os limites de integração:

⇒ 2 2 π - s e n 2 π 2 - π 4 - s e n π 2 2

Portanto:

⇒ ∫ ∫ ∫ W d x d y d z x 2 + y 2 + z 2 = 2 2 3 π 4 - 0 + 1 2

Podemos ainda igualar o denominador do resultado:

⇒ 2 2 3 π + 2 4 = 3 π + 2 2 8

Resposta

3 π + 2 2 8

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