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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 69

Calcule a integral :

int (x)/(1 + sqrt(x)) d x

Passo 1

Fala ai!!Temos que resolver essa integral. Então vamos fazer uma substituição para facilitar nossos cálculos, beleza?

Vamos chamar de u = sqrt(x) -> d u = (d x)/(2 sqrt(x)) d x

int (x)/(1 + sqrt(x)) d x = int (u^2 2 u d u)/(1 + u) = int (2 u^3)/(1 + u) d u = 2 int (u^3)/(1 + u) d u

Passo 2

Agora, vamos fazer outra substituição:

v = 1 + u -> d v = d u

int ((v - 1)^3)/(v) d v = int (v^3 - 3 v^2 + 3 v - 1)/(v) d v = int v^2 - 3 v + 3 - (1)/(v) d v

= (v^3)/(3) - (3)/(2) v^2 + 3 v - ln v

Passo 3

Bom, você percebeu que fizemos duas substituições, certo? Agora, precisamos voltar para a variável inicial. Façamos:

= (v^3)/(3) - (3)/(2) v^2 + 3 v - ln v = ((1 + u)^3)/(3) - (3)/(2) (1 + u)^2 + 3 (1 + u) - ln ( 1 + u )

= ((1 + sqrt(x))^3)/(3) - (3)/(2) (1 + sqrt(x))^2 + 3 ( 1 + sqrt(x )) - ln ( 1 + sqrt(x) )

Resposta

int (x)/(1 + sqrt(x)) d x = ((1 + sqrt(x))^3)/(3) - (3)/(2) (1 + sqrt(x))^2 + 3 ( 1 + sqrt(x )) - ln ( 1 + sqrt(x) )

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