Calcule a integral :

int (2 - cos x + sin x)/(sin^2 x) d x

Passo 1

Galera, o primeiro passo será reescrever essa integral, para facilitar nossos cálculos. Beleza?

int (2)/(sin^2 x) d x - int (cos x)/(sin^2 x) d x + int (sin x)/(sin^2 x) d x

= 2 int csc^2 x d x - int (cos x)/(sin^2 x) d x + int (1)/(sin^2 x) d x

= 2 int csc^2 x d x - int (cos x)/(sin^2 x) d x + int csc x d x

Passo 2

Agora, vamos calcular separadamente a integral int (cos x)/(sin^2 x) d x e depois voltaremos para substituir, beleza?

Nessa integral, utilizaremos o método da substituição:

Chamaremos u = sin x d u = cos x

Assim,

int (d u)/(u^2) = - (1)/(u) = - (1)/(sin x)

Passo 3

Agora, é só substituir:

2 int csc^2 x d x - int (cos x)/(sin^2 x) d x + int csc x d x

= 2 cot x + (1)/(sin x) + ln |csc x - cot x| + C

Resposta

2 cot x + (1)/(sin x) + ln |csc x - cot x| + C

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