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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 11

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/((4 x^2 - 9)^((3)/(2)))

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos no denominador:

4 x^2 - 9 = 4 (x^2 - (9)/(4)) = 4 (x^2 - ((3)/(2))^2)

Isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = (3)/(2) sec theta .

Passo 2

Façamos então a substituição:

[[x,=,(3)/(2),sec theta],[d,x,=,(3)/(2),sec theta,tan theta,d,theta]]

Dessa forma, x^2 = (9)/(4) sec^2 theta -> x^2 - (9)/(4) = (9)/(4) sec^2 theta - (9)/(4) = (9)/(4) overset(tan^2 theta)(obrace (sec^2 theta - 1)) = (9)/(4) tan^2 theta .

Passo 3

Agora vamos manipular a expressão da integral e trocar a variável:

int (d x)/((4 x^2 - 9)^((3)/(2))) = int (d x)/((4 (x^2 - ((3)/(2))^2))^((3)/(2))) = int (d x)/(4^((3)/(2)) (x^2 - ((3)/(2))^2)^((3)/(2))) = (1)/(2^3) int (d x)/((x^2 - ((3)/(2))^2)^((3)/(2)))

= (1)/(2^3) int ((3)/(2) sec theta tan theta d theta)/(((9)/(4) tan^2 theta)^((3)/(2))) = (1)/(2^3) * (3)/(2) int (sec theta tan theta d theta)/(((9)/(4))^((3)/(2)) (tan^2 theta)^((3)/(2))) = (1)/(2^3) * (3)/(2) * (2^3)/(3^3) int (sec theta tan theta d theta)/(tan^3 theta)

= (1)/(18) int ((1)/(cos theta))/((sen^2 theta)/(cos^2 theta)) d theta = (1)/(18) int (cos theta)/(sen^2 theta) d theta

Trocaremos a variável de novo, agora faremos u = sen theta -> d u = cos theta d theta . Ficando com:

(1)/(18) int (cos theta)/(sen^2 theta) d theta = (1)/(18) int (d u)/(u^2) = (1)/(18) int u^(- 2) d u = (u^(- 1))/(- 18) + C = - (1)/(18 u) + C = - (1)/(18 sen theta) + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = (3)/(2) sec theta , temos:

int (d x)/((4 x^2 - 9)^((3)/(2))) = - (1)/(18 sen theta) + C

Para achar sen theta nós olhamos o triângulo da substituição seno construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen theta = (sqrt(x^2 - a^2))/(x) -> (1)/(sen theta) = (x)/(sqrt(x^2 - ((3)/(2))^2)) = (x)/(sqrt(x^2 - (9)/(4)))

Dessa forma, o resultado da integral será:

int (d x)/((4 x^2 - 9)^((3)/(2))) = - (x)/(18 sqrt(x^2 - (9)/(4))) + C = - (x)/((18 sqrt(4 x^2 - 9))/(2)) + C = - (x)/(9 sqrt(4 x^2 - 9)) + C

Resposta

int (d x)/((4 x^2 - 9)^((3)/(2))) = - (x)/(9 sqrt(4 x^2 - 9)) + C

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